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  5. 1.14 张量的代数运算
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  7. 张量并乘:m 阶张量 PPP 与 n 阶张量 QQQ 的分量相乘得 m+nm+nm+n 阶张量,称为并积,以 P QP\,QPQ 表之。两矢量的并积 ababab(并矢)是二阶张量。

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出自「流体力学(第二版) · 1.14 张量的代数运算」

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张量并乘:m 阶张量 PPP 与 n 阶张量 QQQ 的分量相乘得 m+nm+nm+n 阶张量,称为并积,以 P QP\,QPQ 表之。两矢量的并积 ababab(并矢)是二阶张量。

解释

并乘不缩并任何指标,阶数直接相加;并矢 ab 是最典型例子。

记忆法

并乘:阶数相加。

出处:42

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  1. 张量加减:两个同阶张量 P,QP,QP,Q 对应分量相加或相减得同阶张量 T=P±QT=P\pm QT=P±Q。推论:若两同阶张量在某一坐标系内相等,则在任意直角坐标系中相等。

  2. 张量收缩:设 pi1⋯inp_{i_1\cdots i_n}pi1​⋯in​​ 中有两个下标相同,按约定求和得到具有 n−2n-2n−2 个下标的量,且为 n−2n-2n−2 阶张量。例:并矢收缩 aibi=a⋅ba_ib_i=a\cdot bai​bi​=a⋅b 得标量,即两矢量内积。

  3. 张量内积:在并积 P QP\,QPQ 中,从 PPP 和 QQQ 各取一个下标收缩一次,得 m+n−2m+n-2m+n−2 阶张量,称 PPP 和 QQQ 的内积。例如 P⋅aP\cdot aP⋅a 是二阶张量与矢量内积。一般 P⋅a≠a⋅PP\cdot a\neq a\cdot PP⋅a=a⋅P,仅当 PPP 为对称张量时相等。

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