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  5. 1.15 张量识别定理
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  7. 识别定理例 3:若 pijp_{ij}pij​ 与任意矢量 aaa 的内积 pijaj=bip_{ij}a_j=b_ipij​aj​=bi​ 恒为一矢量,则 pijp_{ij}pij​ 必为二阶张量。

摘录4 / 4

出自「流体力学(第二版) · 1.15 张量识别定理」

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识别定理例 3:若 pijp_{ij}pij​ 与任意矢量 aaa 的内积 pijaj=bip_{ij}a_j=b_ipij​aj​=bi​ 恒为一矢量,则 pijp_{ij}pij​ 必为二阶张量。

解释

这是最常见情形:凡把矢量“线性映射”成矢量的 9 个系数必为二阶张量。

记忆法

矢量→矢量的线性映射系数=二阶张量。

出处:44

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  1. 张量识别定理:若 pi1⋯imp_{i_1\cdots i_m}pi1​⋯im​​ 与任意 n 阶张量 qj1⋯jnq_{j_1\cdots j_n}qj1​⋯jn​​ 的乘积收缩后恒为 m+nm+nm+n 阶张量,则 pi1⋯imp_{i_1\cdots i_m}pi1​⋯im​​ 必为 m 阶张量。

  2. 识别定理应用例 1:因 ai=δijaja_i=\delta_{ij}a_jai​=δij​aj​ 对任意矢量 aaa 恒成立,而左端是矢量,由识别定理立知克罗内克尔符号 δij\delta_{ij}δij​ 是二阶张量。

  3. 识别定理应用例 2:因 (a×b)i=εijkajbk(a\times b)_i=\varepsilon_{ijk}a_jb_k(a×b)i​=εijk​aj​bk​ 对任意矢量 a,ba,ba,b 成立而左端是矢量,由识别定理推出置换符号 εijk\varepsilon_{ijk}εijk​ 是三阶张量。

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