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  5. 1.20 各向同性张量
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  7. 零阶张量(标量)都是各向同性的;一阶张量(矢量)除零矢量外都是各向异性的。

摘录3 / 7

出自「流体力学(第二版) · 1.20 各向同性张量」

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零阶张量(标量)都是各向同性的;一阶张量(矢量)除零矢量外都是各向异性的。

解释

标量旋转不变;非零矢量旋转后分量必然改变(除非是零矢量)。

记忆法

0 阶全同向,1 阶全异向。

出处:54

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  1. 若 n 阶张量 Hi1⋯inH_{i_1\cdots i_n}Hi1​⋯in​​ 的每一个分量都是旋转坐标变换下的不变量,则称它为 n 阶各向同性张量。

  2. 置换定理:Hi1⋯inH_{i_1\cdots i_n}Hi1​⋯in​​ 是 n 阶各向同性张量的任一分量,将每个下标值作相同的循环置换 1→2,2→3,3→1(或反向),所得两个分量必相等。

  3. 二阶各向同性张量的形式必为 Hij=λδijH_{ij}=\lambda\delta_{ij}Hij​=λδij​,其中 λ\lambdaλ 为一标量。

  4. 三阶各向同性张量的形式必为 Hijk=λεijkH_{ijk}=\lambda\varepsilon_{ijk}Hijk​=λεijk​,其中 λ\lambdaλ 为标量。

  5. 四阶各向同性张量的形式必为 Hijkl=λδijδkl+μδikδjl+νδilδjkH_{ijkl}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+\mu\delta_{ik}\delta_{jl}+\nu\delta_{il}\delta_{jk}Hijkl​=λδij​δkl​+μδik​δjl​+νδil​δjk​,其中 λ,μ,ν\lambda,\mu,\nuλ,μ,ν 为标量。

  6. 例子:克罗内克尔符号 δij\delta_{ij}δij​ 是二阶各向同性张量,置换张量 εijk\varepsilon_{ijk}εijk​ 是三阶各向同性张量。

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