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  7. 非等精度观测引入权 PPP:精度越高权越大,常取 Pi=σ02/mi2P_i=\sigma_0^2/m_i^2Pi​=σ02​/mi2​。加权平均值 X^=∑Pili/∑Pi\hat{X}=\sum P_i l_i/\sum P_iX^=∑Pi​li​/∑Pi​。

摘录3 / 5

出自「工程测量 · 5.4 无真值条件下的最大似然值」

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非等精度观测引入权 PPP:精度越高权越大,常取 Pi=σ02/mi2P_i=\sigma_0^2/m_i^2Pi​=σ02​/mi2​。加权平均值 X^=∑Pili/∑Pi\hat{X}=\sum P_i l_i/\sum P_iX^=∑Pi​li​/∑Pi​。

解释

权是相对精度尺度;同乘常数不改变结果。

记忆法

权∝1/中误差²;加权平均。

出处:81

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  1. 工程中真值常未知。对等精度独立观测,最大似然(最或然)估计为算术平均值 X^=lˉ=∑li/n\hat{X}=\bar{l}=\sum l_i/nX^=lˉ=∑li​/n。

  2. 改正数(残差)vi=lˉ−liv_i=\bar{l}-l_ivi​=lˉ−li​(符号约定以教材为准)。用改正数估算中误差:m=±∑vi2/(n−1)m=\pm\sqrt{\sum v_i^2/(n-1)}m=±∑vi2​/(n−1)​(贝塞尔公式)。

  3. 算术平均值的中误差 mlˉ=±m/nm_{\bar{l}}=\pm m/\sqrt{n}mlˉ​=±m/n​:增加等精度观测次数可提高均值精度,但按平方根变慢。

  4. 最大似然原则在偶然误差正态分布假定下,使概率密度最大的估值即最或然值;等精度时等价于 ∑vi2=min⁡\sum v_i^2=\min∑vi2​=min(最小二乘)。

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