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  5. 1.7 无旋场及其性质
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  7. 无旋场的积分特性:aaa 沿任意封闭回线 LLL 的环量恒为零,即曲线积分 ∫M0Ma⋅dr\int_{M_0}^{M} a\cdot dr∫M0​M​a⋅dr 与积分路径无关,仅与端点位置有关。

摘录4 / 5

出自「流体力学(第二版) · 1.7 无旋场及其性质」

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无旋场的积分特性:aaa 沿任意封闭回线 LLL 的环量恒为零,即曲线积分 ∫M0Ma⋅dr\int_{M_0}^{M} a\cdot dr∫M0​M​a⋅dr 与积分路径无关,仅与端点位置有关。

解释

环量恒为零是无旋场的直接推论,常用于判断流动是否无旋。

记忆法

无旋流:绕一圈“做功”为零。

出处:14

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  1. 旋度为零的矢量场称为无旋场:rot⁡a=0\operatorname{rot}a=0rota=0。

  2. 无旋场最主要的性质是无旋场和位势场的等价性:若 a=grad⁡φa=\operatorname{grad}\varphia=gradφ,则必有无旋 rot⁡a=0\operatorname{rot}a=0rota=0;反之,若 rot⁡a=0\operatorname{rot}a=0rota=0,则必存在 φ\varphiφ 使 a=grad⁡φa=\operatorname{grad}\varphia=gradφ。

  3. 等价性证明思路:若 a=grad⁡φa=\operatorname{grad}\varphia=gradφ,直接微分得 rot⁡grad⁡φ=0\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=0rotgradφ=0;反之若 rot⁡a=0\operatorname{rot}a=0rota=0,由斯托克斯公式得 ∮La⋅dr=0\oint_L a\cdot dr=0∮L​a⋅dr=0 对任意周界成立,再据 1.3 节定理 2 推出 a=grad⁡φa=\operatorname{grad}\varphia=gradφ。

  4. 对速度场而言,若 rot⁡v=0\operatorname{rot}\boldsymbol{v}=0rotv=0,则存在速度势 φ\varphiφ 使 v=grad⁡φ\boldsymbol{v}=\operatorname{grad}\varphiv=gradφ。这类流动称无旋流动或势流。

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