标量 $\varphi$ 的物质体积分的随体导数为$\frac{d}{dt}\int_\tau \varphi\,d\tau=\int_\tau \left(\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\operatorname{div}(\varphi\boldsymbol{v})\right)d\tau$，考虑到 $d\varphi/dt$ 的表达式及奥-高定理，也可写成 $\frac{d}{dt}\int_\tau \varphi\,d\tau=\int_\tau \left(\frac{d\varphi}{dt}+\varphi\operatorname{div}\boldsymbol{v}\right)d\tau$。

出处：101