物质体积分的随体导数有两种等价形式：一种是 $\int_\tau\left(\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\operatorname{div}(\varphi\boldsymbol{v})\right)d\tau$ ，另一种是 $\int_\tau\left(\frac{d\varphi}{dt}+\varphi\operatorname{div}\boldsymbol{v}\right)d\tau$ 。前者通过奥-高定理还可写成体积分加面积分的形式，后者更适合与拉格朗日观点联系。

解释

两种形式等价，使用时机不同：分析局部变化用 ∂/∂t 形式，跟踪质点用 d/dt 形式。

两形式一家：∂/∂t+div 与 d/dt+div 等价。

出处：101