矢量 $\boldsymbol{a}$ 的物质体积分的随体导数为$\frac{d}{dt}\int_\tau \boldsymbol{a}\,d\tau=\int_\tau \left(\frac{\partial\boldsymbol{a}}{\partial t}+\boldsymbol{a}\operatorname{div}\boldsymbol{v}+(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{a}\right)d\tau$，即等于 $\int_\tau \left(\frac{d\boldsymbol{a}}{dt}+\boldsymbol{a}\operatorname{div}\boldsymbol{v}\right)d\tau$。

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