结构力学（上册）第7版

拱是轴线为曲线、在竖向荷载下产生水平反力（推力）的结构。图示常见：三铰拱（静定）、两铰拱与无铰拱（超静定）。

拱是轴线为曲线、在竖向荷载作用下会产生水平推力的结构。与梁相比：推力使弯矩显著减小，截面以受压为主，可用砖石混凝土等抗压材料；缺点是支座（墩台）须能承受推力。两铰拱、无铰拱为超静定；三铰拱为静定，是本章重点。带拉杆拱可用拉杆承受推力，使支座主要承受竖向力。

术语：拱轴线（截面形心连线）、拱趾（支承点）、跨度 $l$、起拱线、拱顶、拱高 $f$、高跨比 $f/l$。若支座不能承受推力，可设系杆（系杆拱）使基础主要受竖向压力。

几何用语：拱轴线连各截面形心；拱趾为两端支座；跨度$l$为两拱趾水平距离；起拱线连两拱趾；拱顶为轴线距起拱线最远点（三铰常放顶铰）；拱高$f$为拱顶到起拱线的竖距；高跨比$f/l$。

平拱在竖向荷载下：竖向反力与同跨同载相应简支梁相同。由整体$\sum F_x=0$得$F_{AH}=F_{BH}=F_H$；取半拱对顶铰 $C$ 取矩（$M_C=0$）得推力$F_H=M_C^0/f$，其中 $M_C^0$ 为相应简支梁在 $C$ 处弯矩，$f$ 为拱高。给定荷载与跨度时，$F_H$ 与 $f$ 成反比；$f\to 0$ 时推力趋于无穷，体系趋近瞬变。

竖向荷载下截面内力（相应梁量加撇 0）：$M=M^0-F_H y$，$F_S=F_S^0\cos\phi-F_H\sin\phi$，$F_N=F_S^0\sin\phi+F_H\cos\phi$。弯矩以使拱内侧受拉为正；拱中轴力常取压力为正。推力项使弯矩比梁小。斜拱可将反力分解为竖向分量与沿弦线分量，弦向分量$F'_R=M_C^0/h$（$h$ 为顶铰到弦线竖距）。带拉杆三铰拱：切断拉杆与顶铰，对 $C$ 取矩求拉杆力。

计算步骤要点：求支座竖反力（同相应梁）→ 由 $M_C=0$ 求 $F_H$ → 取截面求 $M,F_S,F_N$（或列表计算多截面）。铰处弯矩恒为零。抛物线轴线常用$y=\frac{4f}{l^2}x(l-x)$，并由 $\tan\phi=y'$ 求倾角。

合理拱轴线：在给定荷载与三铰位置下，使各截面弯矩为零（同时剪力也为零，仅存轴力）的轴线。材料应力均匀、最经济。竖向荷载下由 $M=M^0-F_H y=0$ 得$y=M^0/F_H$，即合理轴线竖坐标与相应简支梁弯矩图成正比。

满跨竖向均布荷载 $q$：相应梁 $M^0=\frac{1}{2}qx(l-x)$，$F_H=ql^2/(8f)$，合理轴为抛物线$y=\frac{4f}{l^2}x(l-x)$。沿轴线均布自重（等截面）时合理轴为悬链线；垂直于轴线的均布径向压力（如水压）时合理轴为圆弧。