结构力学（上册）第7版

位移法以某些结点位移（角位移、线位移）为基本未知量：先求出这些位移，再由杆端位移与荷载确定各杆内力。力法则以多余未知力为基本未知量。力法与位移法都利用内力与位移的相互关系，只是求解顺序相反。

位移法的基本想法由德国工程师 A. Bendixen（1914）提出；对高次超静定刚架，位移法未知量数目常少于力法，便于手算与程序化。

位移法把结构拆成若干单跨超静定梁：若已知杆端位移及杆上荷载，即可由杆端力公式求出各杆内力，再拼回原结构。因此需解决：（1）各种杆端位移与荷载下单跨梁的杆端力；（2）确定原结构的基本未知量（独立结点位移）；（3）建立方程求解这些位移。

等截面直杆两端固定时，杆端弯矩（位移法符号：杆端弯矩与转角均以顺时针为正；相对线位移 $\Delta_{AB}$ 以引起弦顺时针转动为正）的转角位移方程为：

其中线刚度 $i=EI/l$；$M^{F}$ 为两端固定时由荷载（及温度等）引起的固端弯矩。弦转角 $\beta_{AB}=\Delta_{AB}/l$。

一端固定、一端铰支（铰在 B）时，因 $M_{BA}=0$，可消去 $\varphi_B$，得

此时近端转动刚度为 $3i$，传递系数为 0。各种支承与荷载下的固端弯矩、杆端剪力可查教材固端力表。

固端弯矩 $M^{F}$ 是杆端位移均为零时，由跨间荷载或温度等引起的杆端弯矩。常见（两端固定、均布荷载 $q$）：

$M_{AB}^{F}=-ql^{2}/12$，$M_{BA}^{F}=+ql^{2}/12$（位移法顺时针为正时符号按教材表）。跨中集中力 $F$ 时两端固端弯矩绝对值为 $Fl/8$。

位移法基本未知量为结构独立的结点角位移与结点线位移。刚结点处汇交各杆端转角相同，计 1 个角位移未知量；固定支座转角已知（常为 0）；铰结点转角一般不作为基本未知量（因铰端弯矩恒为 0，转角可由杆端方程消去）。

独立线位移：一般结点可有水平、竖向线位移，但若略去轴向变形且弯曲变形很小，则直杆两端距离保持不变，从而大幅减少独立线位移。可用“加链杆约束各可能侧移后，链杆数目=独立线位移数”的直观办法确定。

基本结构：在原结构各未知位移处加入附加约束（角位移处加刚臂，线位移处加链杆），使所有结点位移被锁定为零，得到的结构称为基本结构。基本结构在荷载与“强迫位移”共同作用下的体系称为基本体系。

设有 n 个基本未知位移 $Z_1,\ldots,Z_n$。基本体系中附加约束的反力（矩）应等于零，得位移法典型方程：

$R_{ij}$ 为刚度系数：仅 $Z_j=1$ 时在第 i 约束产生的反力；$R_{iP}$ 为荷载（含温度等）引起的第 i 约束反力。主系数 $R_{ii}>0$；$R_{ij}=R_{ji}$。

计算步骤：（1）确定基本未知量并作基本结构；（2）建立典型方程；（3）由单位位移状态与荷载状态求 $R_{ij}$、$R_{iP}$（可用杆端弯矩平衡求约束反力矩）；（4）解出 $Z$；（5）叠加求各杆杆端弯矩并作内力图；（6）校核（结平衡、对称性等）。