工程力学教程（第4版）

一点的应力状态是指通过该点各不同方位截面上的应力全貌。强度分析不能只看某一个给定截面上的 $\sigma$ 或 $\tau$，而要考察该点全部可能方位。

不同材料失效模式不同：塑性材料常以屈服为限；脆性材料常以拉断为限。因此需要不同的强度理论把复杂应力折算到单向拉伸可比较的量。

平面应力状态是工程中最常见的简化：某方向主应力为零（如薄板自由表面）。先掌握平面情形，再推广到三向。

平面应力单元体常用两向正应力 $\sigma_x,\sigma_y$ 与切应力 $\tau_x$ 表示。切应力符号必须与教材约定一致（本书常取顺时针为正），且 $\tau_y=-\tau_x$ 满足互等。

斜截面应力公式：$\sigma_\alpha=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\alpha-\tau_x\sin 2\alpha$；$\tau_\alpha=\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\alpha+\tau_x\cos 2\alpha$。

主应力对应切应力为零的方位。由 $\tan 2\alpha_0=-2\tau_x/(\sigma_x-\sigma_y)$ 求主平面，主应力 $\sigma_{1,2}=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{[(\sigma_x-\sigma_y)/2]^2+\tau_x^2}$。

平面应力时第三个主应力 $\sigma_3=0$（若 $z$ 向自由）。面内求出的两个值必须与 0 一起排序，才能得到真正的 $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$。

面内最大切应力 $\tau_{\max}=(\sigma_1-\sigma_2)/2$（此处 $\sigma_1,\sigma_2$ 为面内两主应力），作用面与主平面成 45°；该面上正应力一般为 $(\sigma_1+\sigma_2)/2$ 而非零。

主平面方位可用 $2\alpha_0$ 的两个解区分哪个对应 $\sigma_{\max}$：把 $\alpha_0$ 代回 $\sigma_\alpha$ 公式检验，或用定性判断（拉应力大的一侧）。

单向拉伸与纯剪切是平面应力特例：单向拉伸斜截面公式即第6章结果；纯剪切主应力为 $\pm\tau$，方位 45°。