工程力学教程（第4版）

欧拉公式适用前提：临界应力 $\sigma_{cr}=F_{cr}/A$ 不超过材料比例极限 $\sigma_p$。超出后线弹性假定破坏，不能再用欧拉公式。

柔度（长细比）$\lambda=\mu l/i$，其中惯性半径 $i=\\sqrt{I/A}$。欧拉临界应力 $\sigma_{cr}=\\pi^2 E/\\lambda^2$。

分界柔度 $\\lambda_p=\\sqrt{\\pi^2 E/\\sigma_p}$。当 $\\lambda\\ge\\lambda_p$ 为大柔度杆，可用欧拉公式；Q235 钢 $\\lambda_p$ 约 100。

中柔度杆：$\\lambda$ 介于某一范围，临界应力用经验抛物线等公式，如 $\\sigma_{cr}=\\sigma_s[1-\\alpha(\\lambda/\\lambda_c)^2]$。小柔度杆接近按强度（屈服）控制。

临界应力总图：横轴 $\\lambda$，纵轴 $\\sigma_{cr}$。大柔度段为欧拉双曲线，中柔度段为经验曲线，小柔度段趋近 $\\sigma_s$。

两方向约束或惯性半径不同时，应分别计算 $\\lambda_y,\\lambda_z$，取较大柔度（更危险方向）控制。

把 $\\lambda_p$ 与规范 $\\lambda_c$ 混用、或 $\\lambda<\\lambda_p$ 仍套欧拉，是本节高频错误。