工程力学教程（第4版）

强度理论把复杂应力状态折算为相当应力 $\sigma^*$，强度条件统一写为 $\sigma^*\le[\sigma]$。不同理论对应不同的 $\sigma^*$ 表达式与适用材料。

第一强度理论（最大拉应力理论）：$\sigma^*=\sigma_1$。适用于铸铁等脆性材料的拉断型失效。

第二强度理论（最大拉应变理论）：$\sigma^*=\sigma_1-\nu(\sigma_2+\sigma_3)$。历史上曾用于脆性材料，现工程使用较少。

第三强度理论（最大切应力理论）：$\sigma^*=\sigma_1-\sigma_3$。适用于塑性材料屈服，形式简单偏安全。

第四强度理论（形状改变能密度理论）：$\sigma^*=\sqrt{[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2]/2}$。更符合多数塑性材料实验。

平面 $\sigma-\tau$ 状态（梁中一般点）：第三理论 $\sqrt{\sigma^2+4\tau^2}\\le[\sigma]$；第四理论 $\sqrt{\sigma^2+3\tau^2}\\le[\sigma]$。

选型经验：脆性偏拉断→第一（或第二）理论；塑性屈服→第三或第四理论；塑性且要更贴实验常用第四。

相当应力计算步骤：求一点应力状态→主应力排序→选理论写 $\sigma^*$→与 $[\sigma]$ 比较。

简单拉压或纯剪可直接用 $\sigma\\le[\sigma]$、$\tau\\le[\tau]$；一旦同一点 $\sigma$ 与 $\tau$ 同时显著，就必须用强度理论。

注意：截面上“最大正应力点”与“最大切应力点”可能不是同一点；对危险点分别取该点自己的 $\sigma,\tau$ 再算 $\sigma^*$。