工程力学教程（第4版）

弯曲与扭转组合常见于圆轴传动：危险点同时有弯曲正应力 $\sigma=M/W_z$ 与扭转切应力 $\tau=T/W_p$。

同一点有 $\sigma$ 与 $\tau$ 时，不能只分别写 $\sigma\\le[\sigma]$、$\tau\\le[\tau]$ 就判安全，必须用强度理论计算相当应力。

第三强度理论：$\sigma_3^*=\sqrt{\sigma^2+4\tau^2}\\le[\sigma]$。对无轴力圆轴可化为 $\sigma_3^*=\sqrt{M^2+T^2}/W_z$。

第四强度理论：$\sigma_4^*=\sqrt{\sigma^2+3\tau^2}\\le[\sigma]$。无轴力圆轴可化为 $\sigma_4^*=\sqrt{M^2+0.75T^2}/W_z$。

简化式 $\sqrt{M^2+T^2}/W$ 等仅在危险点正应力只来自弯矩、且圆截面关系成立时使用；若还有轴力，应先把 $\sigma=F_N/A\pm M/W$ 再代入 $\sqrt{\sigma^2+4\tau^2}$ 等形式。

空间力系常使轴同时受 $M_y,M_z,T$ 甚至 $F_N$。两垂直平面弯矩先合成 $M=\sqrt{M_y^2+M_z^2}$，再与扭矩一起做强度计算。

计算程序：外力→求支反与内力（弯矩图、扭矩图）→确定危险截面与危险点→算 $\sigma,\tau$→选第三/第四理论校核。

空心圆轴同样可用上述公式，只需代入空心截面的 $W_z,W_p$（含 $1-\alpha^4$ 因子）。

危险点通常在弯矩与扭矩都较大的外边缘；若轴力显著，需比较拉侧与压侧边缘点。

第三、第四理论结果数值不同：同一 $\sigma,\tau$ 下第四理论相当应力通常略小。设计按规范指定理论执行。