工程力学教程（第4版）

圆轴扭转的平面假设：变形后横截面仍保持平面并绕轴线刚性转动；半径仍为直线。由此得切应变 $\gamma_\rho=\rho\,d\phi/dx$。

结合 $\tau=G\gamma$ 与扭矩静力关系，得 $\tau_\rho=T\rho/I_p$，其中极惯性矩 $I_p=\int_A\rho^2\,dA$。最大切应力在外边缘。

抗扭截面模量 $W_p=I_p/R$，于是 $\tau_{\max}=T/W_p$。实心圆：$I_p=\pi d^4/32$，$W_p=\pi d^3/16$。

空心圆轴（外径 $D$、内径 $d$，$\alpha=d/D$）：$I_p=\pi D^4(1-\alpha^4)/32$，$W_p=\pi D^3(1-\alpha^4)/16$。

单位长度扭转角 $d\phi/dx=T/(GI_p)$；等截面等扭矩杆两端相对扭转角 $\phi=Tl/(GI_p)$。$GI_p$ 称为扭转刚度。

功率与外力偶矩关系（常用工程单位）：$M=9.55\,P/n$，其中 $P$ 为 kW，$n$ 为 r/min，$M$ 为 $\mathrm{kN\cdot m}$。

扭转超静定：未知扭矩数多于独立平衡方程时，须补充变形协调（如两端固定时总转角为零，或分段相对转角相等）。

纯剪切应力状态：圆轴横截面点只有切应力。斜截面上 $\sigma_\alpha=-\tau\sin 2\alpha$，$\tau_\alpha=\tau\cos 2\alpha$；当 $\alpha=\pm45^\circ$ 时出现主应力 $\pm\tau$。

材料破坏形态对比：低碳钢扭断多沿横截面（剪切控制）；铸铁常沿约 45° 螺旋面（拉应力控制）；木材可能沿纵向纤维开裂。

适用条件：公式适用于弹性范围、圆截面（实心或空心同心）、自由扭转且平面假设成立。塑性区或非圆截面需另理论。