流体力学（第二版）

描写平衡态的物理量是几何变数体积 $V$、力学变数压强 $p$ 和热力学变数温度 $T$，这三个变数不是相互独立的，它们之间有一个关系式联系起来，这个关系就称状态方程，可写成 $F(p,V,T)=0$。

满足克拉珀龙（Clapeyron）方程 $pV=\frac{m}{M}R_0T$ 的气体称为完全气体，其中 $m$ 为气体的质量，$M$ 为摩尔质量，$R_0$ 是普适气体常数，$R_0=8.31\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$。对单位质量的完全气体，状态方程的形式是 $p/\rho=RT$ 或 $p=\rho RT$，其中 $R=R_0/M$。

范德瓦耳斯（van der Waals）方程：$\left(p+\frac{a}{V^2}\right)(V-b)=RT$，式中 $a/V^2$ 代表分子间吸引力，$b$ 代表分子的体积。当气体的性质和完全气体有微小偏离时，范德瓦耳斯方程是适用的。

均质液体在正常条件下密度几乎不随压强、温度而改变，其状态方程为 $\rho=\text{常数}$。对深水中的高压情形（几百个标准大气压），须用柯尔（Cole）状态方程 $p=\frac{p_0+B}{\rho_0^n}\rho^n-B$，其中 $p_0$ 是一个标准大气压下水的密度。

热力学第一定律（能量守恒）：对单位质量流体 $\delta Q=dU+pdV$，其中 $\delta Q$ 为传给单位质量流体的总热量，$dU$ 为单位质量流体内能的增量，$pdV$ 是流体因膨胀对外界做的功。

对可逆循环过程有 $\oint\frac{\delta Q}{T}=0$，由此可知 $\delta Q/T$ 是某状态函数 $S$ 的全微分，即 $dS=\frac{\delta Q}{T}$。状态函数 $S$ 称为熵，是判断过程方向的特性函数。将热力学第一定律代入得 $TdS=dU+pdV$。热力学第二定律可表示为 $dS\ge\frac{\delta Q}{T}$；熵增加原理：孤立系的熵永不减少，$dS\ge0$。

单位质量的物质每升高一度所吸收的能量称为比热：$C=\frac{\delta Q}{dT}$。对气体最重要的是定容比热 $C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$ 和定压比热 $C_p=\left(\frac{\partial i}{\partial T}\right)_p$，其中 $i=U+pV$ 是焓。定容时 $8Q=dU$，定压时 $8Q=dU+pdV=d i$。

麦克斯韦热力学关系式（四式）：$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S=-\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V$，$\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_S=\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_p$，$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T=\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$，$\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T=-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$。它们由四个热力学势（内能、焓、亥姆霍兹自由能、吉布斯自由能）的微分交叉微分得到。

由状态方程与定容比热即可确定内能和熵：$U(T,V)=\int C_V\,dT+\int\left[T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p\right]dV$，$S(T,V)=\int\frac{C_V}{T}\,dT+\int\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V dV$。完全气体情形下 $C_V=C_V(T)$（焦耳实验），当比热近似为常数时有 $U=C_VT$，$i=C_pT$，$S=C_V\ln T+R\ln V+\text{常数}$，其中 $\gamma=C_p/C_V$ 是绝热指数。