流体力学（第二版）

能量守恒定律可表达为：体积内流体动能和内能的改变率等于单位时间内质量力和面力所做的功加上单位时间内传入体积的热量。体积内动能和内能的总和是 $\int_\tau \rho\left(U+\frac{v^2}{2}\right)d\tau$，其中 $U$ 是单位质量的内能。

根据傅里叶定律，单位时间内由于热传导通过表面 $dS$ 传入的热量是 $-\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{n}\,dS$，其中 $\boldsymbol{q}$ 是热流矢量，它是 $\nabla T$ 的线性函数：$q_i=-k_{ij}\frac{\partial T}{\partial x_j}$，其中 $k_{ij}$ 是热传导系数张量。对各向同性流体 $k_{ij}=k\delta_{ij}$，其中 $k$ 是热导率。

积分形式的能量方程：$\frac{d}{dt}\int_\tau \rho\left(U+\frac{v^2}{2}\right)d\tau=\int_\tau \rho\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{v}\,d\tau+\oint_S \boldsymbol{P}_n\cdot\boldsymbol{v}\,dS+\oint_S k\frac{\partial T}{\partial n}\,dS+\int_\tau \rho q\,d\tau$。

微分形式的能量方程：$\frac{d}{dt}\left(U+\frac{v^2}{2}\right)=\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{v}+\frac{1}{\rho}\operatorname{div}(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{v})+\frac{1}{\rho}\operatorname{div}(k\operatorname{grad}T)+q$。其中左边第一、二项代表单位体积内动能和内能的随体导数，右边依次是质量力功率、面力功率、热传导传入热量和辐射等贡献。

面力对单位体积做的功率由两部分组成：一部分是面力合力所做的功率 $\boldsymbol{v}\cdot\operatorname{div}\boldsymbol{P}$，另一部分是流体变形后面力所做的功率 $\boldsymbol{P}:\boldsymbol{S}$，其中 $\boldsymbol{S}$ 是变形速度张量。即 $\operatorname{div}(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{v})=\boldsymbol{v}\cdot\operatorname{div}\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}:\boldsymbol{S}$。

能量方程的另一种形式：$\rho\frac{dU}{dt}=\boldsymbol{P}:\boldsymbol{S}+\operatorname{div}(k\operatorname{grad}T)+\rho q$。其物理意义是：单位体积内由于流体变形面力所做的功加上热传导及辐射等其他原因传入的热量，恰好等于单位体积内内能的增加。

体力所做的功率 $\rho\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{v}$ 加上面力合力所做的功率 $\boldsymbol{v}\cdot\operatorname{div}\boldsymbol{P}$ 等于单位体积内动能的随体导数：$\rho\frac{d}{dt}\frac{v^2}{2}=\rho\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}\cdot\operatorname{div}\boldsymbol{P}$。这只需在运动方程两边点乘速度矢量即可得到。

传热的方式主要有热传导及辐射两种，在能量转换中还有化学反应（例如燃烧）和其他物理原因（凝固、蒸发等）。设 $q$ 为由于辐射或其他原因在单位时间内传入单位质量的热量。

热力学函数焓 $i=U+\frac{p}{\rho}$，它出现在能量方程的对流形式中（等压过程中传入的热量等于焓的增加）。