流体力学（第二版）

尼库拉泽实验表明，圆管湍流核心区的速度分布与无界固壁附近一样是对数剖面。取 κ=0.4、a=11.5 并把自然对数换成常用对数，得 $\frac{u}{U_*}=5.75\lg\frac{yU_*}{\nu}+5.5$，与实验结果几乎完全重合。

由对数剖面求得平均速度与最大速度的关系：$\frac{u_{max}-u_{平}}{U_*}=3.75$。层流中 u_max/u_平=2，湍流中此比值随雷诺数增加而减小（Re≈5000 时为 1.3，Re≈3×10⁶ 时为 1.15），湍流剖面比层流饱满得多。

光滑圆管湍流的阻力公式：普朗特公式 $\frac{1}{\sqrt{\lambda}}=2\lg(Re\sqrt{\lambda})-0.8$（隐函数形式）；尼库拉泽经验公式 $\lambda=0.0032+\frac{0.221}{Re^{0.237}}$；当 Re<10⁵ 时可用水力学常用公式 $\lambda=\frac{0.3164}{Re^{1/4}}$（布拉修斯阻力公式）。

当 Re<10⁶ 时常用 1/7 幂次剖面 $\frac{u}{U_*}=8.74\left(\frac{yU_*}{\nu}\right)^{1/7}$。随雷诺数增大改用 1/8、1/9、1/10 幂次。幂次剖面使用方便，缺点是不通用，随雷诺数变化需选用不同幂次。

粗糙圆管：按湍流区阻力系数与粗糙度的关系分成三种类型：流体动力光滑圆管（kU*/ν≤5，粗糙峰全埋在黏性底层内，λ=λ(Re)）；完全粗糙圆管（kU*/ν>70，粗糙峰全高出黏性底层，阻力完全由粗糙峰形阻组成，平方规律）；过渡区（介于两者之间，λ 既依赖 Re 又依赖粗糙度）。

完全粗糙圆管的速度剖面 $\frac{u}{U_*}=2.5\ln\frac{y}{k}+8.5$ 不再依赖雷诺数；工程上可由实验确定剖面常数 C，用 C=8.5−5.75lg k 算出等效粗糙度 k。