流体力学（第二版）

联系速度势函数 φ 和流函数 ψ 的关系式 $\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{\partial\psi}{\partial y},\quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=-\frac{\partial\psi}{\partial x}$ 称为柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件。流函数和速度势函数中有一个已知，另一个就可以求出。

由柯西-黎曼条件可证流线和等势线正交：$\operatorname{grad}\varphi\cdot\operatorname{grad}\psi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial x}+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial y}=0$。

复位势定义为 $w(z)=\varphi+i\psi$，其中 z=x+iy。复位势的导数 $\frac{dw}{dz}=u-iv$ 称为共轭复速度。

平面无旋运动和具有单值导数的解析函数之间存在着一一对应关系：任何一个平面无旋运动都对应一个复位势 w(z)=φ+iψ；反过来，给定一个具有单值导数的解析函数，将其实部 φ 和虚部 ψ 看成速度势函数和流函数，就得到一个平面无旋运动。