流体力学（第二版）

动量积分关系式方法由卡门 1921 年首先提出，由波尔豪森具体实现。基本思想：用一个只依赖 x 的单参数剖面族近似代替真实剖面，使其满足壁面和边界层外部边界上的主要边界条件，再通过动量积分方程确定单参数与 x 的关系。

位移厚度 $\delta^*=\int_0^\infty\left(1-\frac{u}{U}\right)dy$：代表由于黏性滞止作用，理想流体的流线在边界层外部边界上向外偏移的距离（排挤厚度）。动量损失厚度 $\theta=\int_0^\infty\frac{u}{U}\left(1-\frac{u}{U}\right)dy$：动量损失以理想动量流去所需的厚度。两者都有鲜明的物理意义且数学上完全确定，优于有任意性的边界层厚度 δ。

卡门动量积分方程：$\frac{d}{dx}(U^2\theta)+U\frac{dU}{dx}\delta^*=\frac{\tau_w}{\rho}$，令 H=δ*/θ 可写成 $\frac{d\theta}{dx}+\frac{U'}{U}(2+H)\theta=\frac{\tau_w}{\rho U^2}$。它既可由边界层方程积分导出，也可由动量定理直观导出。

用动量积分方法解平板边界层：取多项式或三角函数逼近 f(η)，按卡门方程得 $\delta(x)=\sqrt{\frac{2\nu x}{U}}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{1/2}$。与精确解（布拉休斯解）相比，除线性及二次剖面外误差不超过 3%，说明此法计算简单且精度较好。

波尔豪森方法处理曲面边界层：用四次多项式逼近速度剖面，引进参数 $\Lambda=\frac{\delta^2}{\nu}\frac{dU}{dx}$（物理意义为压力与黏性力之比）。速度剖面须满足 0<u/U<1，故 Λ 的变化范围限制在 −12≤Λ≤12。由卡门方程导出确定 Λ(x) 的常微分方程，从驻点开始积分，由 Λ=−12 定出分离点位置。

波尔豪森方法在增速区（顺压区）给出满意结果，但在减速区特别是分离点附近误差较大。霍尔斯坦等人用新参数 $A=\frac{\theta^2}{\nu}\frac{dU}{dx}$ 代替 Λ，得方程 $\frac{dA}{dx}=\frac{U'}{U}[F(A)-A]$，其中 F(A)≈0.45−6A 可线性化，且只需求外流速度 U 及其一阶导数，更便于数值计算。