流体力学（第二版）

考虑具有巨大质量的气体星球在自引力作用下的平衡问题。因为引力 $\boldsymbol{F}$ 有势，引力势 $\phi$ 根据引力理论满足泊松方程 $\nabla^2\phi=4\pi G\rho$，式中 G 是引力常数。

假设气体是正压的，满足形式的状态方程 $p=C\rho^{1+\frac{1}{n}}$（n≥0），其中 C 和 n 都是常数。

气状星球的平衡方程变为 $\nabla(\phi+\Pi)=0$，即 $\phi+\Pi=\text{常数}$，代入泊松方程得 p 满足的非线性二阶常微分方程。

限于考虑等势面是球面的特殊情形。由于等势面与等密度面、等压面重合，所以 p、ρ 都只是 r 的函数，此时方程简化为以 r 为自变量的非线性二阶常微分方程，不管 n 取什么值都可用数值方法求解。

n=0 时 $p=\rho_0=\text{常数}$（不可压缩），方程积分得 $p=\frac{2}{3}\pi G\rho_0^2(a^2-r^2)$，其中 a 是积分常数，可视为星球的外边界。

n=5 时方程的解表明密度对所有 r 都取非零值，即气状星球无确定外边界。但星体的总质量是有限的，于是积分常数 a 可通过总质量 M 表出。