流体力学（第二版）

涡面保持定理：如果理想流体是正压的，且外力有势，则在某一时刻组成涡面的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡面。证明用开尔文定理：涡面上任一面积 S 的涡通量为零，运动后由同一批流体质点组成的曲面 S' 的涡通量也为零，故 S' 是涡面。

涡管保持定理：如果理想流体是正压的，且外力有势，则在某时刻组成涡管的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡管。涡管是涡面的一种特殊情况，因此由涡面保持定理立即推得。

涡线保持定理（亥姆霍兹第一定理）：如果理想流体是正压的，且外力有势，则在某时刻组成涡线的流体质点在以前或后一时刻也永远组成涡线。证明利用亥姆霍兹方程证得 $\delta\boldsymbol{r}'\times\boldsymbol{\Omega}'=0$ 恒成立。

涡管强度保持定理（亥姆霍兹第二定理）：如果流体是理想正压的，且外力有势，则涡管强度在运动过程中恒不变。既然组成涡管的流体质点在任何时刻都组成涡管，涡管强度等于通过任一横截面的涡通量，根据开尔文定理涡通量在运动过程中不变，由此推出涡管强度守恒。

在理想正压流体有势外力作用下，涡旋随体变化的最主要性质是保持性（冻结性）：流体质点好像冻结在涡线上随涡线一起运动，涡管强度保持不变。

例：对于在重力场作用下的理想不可压缩流体，考察均匀来流定常绕流的涡旋性问题。理想、正压、质量力有势三个条件都满足。在不分离绕流情况下，流场中任一点的流体质点都来自无穷远处，因无穷远处运动无旋，所以根据涡旋不生不灭定理，整个流场都是无旋的。

涡线保持定理的证明中用到恒等式：对任意的矢量 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 和二阶张量 $\boldsymbol{T}$，有 $(\boldsymbol{a}\cdot\nabla)(\boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{b})-\boldsymbol{T}\cdot(\boldsymbol{a}\cdot\nabla)\boldsymbol{b}=(\nabla\cdot\boldsymbol{a})\boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{b}-(\nabla\cdot(\boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{b}))\boldsymbol{a}$ 等关系（第一章习题二第 18 题）。