流体力学（第二版）

过 $M$ 点沿曲线 $s$ 方向的方向导数定义为 $\frac{\partial\varphi}{\partial s}=\lim_{M'\to M}\frac{\varphi(M')-\varphi(M)}{MM'}$，它表征标量函数 $\varphi$ 在 $M$ 点沿该方向的函数变化率。

设 $\boldsymbol{n}$ 为过 $M$ 点等势面的法线单位矢量（指向 $\varphi$ 增长方向），则大小 $\partial\varphi/\partial n$、方向 $\boldsymbol{n}$ 的矢量称为标量函数 $\varphi$ 的梯度，记为 $\operatorname{grad}\varphi$。它是标量场不均匀性的量度。

任一方向 $s$ 上的方向导数等于梯度在该方向上的投影：$\frac{\partial\varphi}{\partial s}=\boldsymbol{s}_0\cdot\operatorname{grad}\varphi$。梯度在直角坐标系中的表达式为 $\operatorname{grad}\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\boldsymbol{i}+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\boldsymbol{j}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\boldsymbol{k}$。

梯度主要性质：（1）描写 $M$ 点邻域内函数变化状况，是标量场不均匀性的量度；（2）方向与等势面法线重合，指向 $\varphi$ 增长方向，大小是法向方向导数；（3）在任一方向的投影等于该方向的方向导数；（4）法线方向是函数变化最快的方向；（5）直角坐标表达式 $\operatorname{grad}\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\boldsymbol{i}+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\boldsymbol{j}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\boldsymbol{k}$。

若 $a=\operatorname{grad}\varphi$，则矢量场 $a$ 称为位势场，$\varphi$ 称为位势；当速度场是位势场时，位势 $\varphi$ 称为速度势。写成 $a=\operatorname{grad}\varphi$ 的场一定满足 $d\varphi=dr\cdot a$。