流体力学（第二版）

由流体质点组成的线段元、面积元和体积元的随体导数为：$\frac{d}{dt}(\delta\boldsymbol{r})=\delta\boldsymbol{v}$，$\frac{1}{\delta V}\frac{d(\delta V)}{dt}=\operatorname{div}\boldsymbol{v}$，面积元满足 $\frac{d(\delta\boldsymbol{S})}{dt}=\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\delta S_j$ 型公式。它们是推导物质线积分、面积分、体积分随体导数的基础。

物质线积分（速度环量）的随体导数：$\frac{d}{dt}\oint_L \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r}=\oint_L \frac{d\boldsymbol{v}}{dt}\cdot d\boldsymbol{r}$，即环量的随体导数等于随体加速度沿封闭曲线的环量（已考虑到速度是单值函数、其绕闭合曲线的积分为零）。

物质面积分（涡通量）的随体导数：$\frac{d}{dt}\int_S \boldsymbol{\Omega}\cdot d\boldsymbol{S}=\int_S \left(\frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt}+\boldsymbol{\Omega}\operatorname{div}\boldsymbol{v}-\boldsymbol{\Omega}\cdot\nabla\boldsymbol{v}\right)\cdot d\boldsymbol{S}$。即涡通量的随体导数等于涡量随体导数加上散度项与梯度项对面积元变化的贡献。

标量 $\varphi$ 的物质体积分的随体导数为$\frac{d}{dt}\int_\tau \varphi\,d\tau=\int_\tau \left(\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\operatorname{div}(\varphi\boldsymbol{v})\right)d\tau$，考虑到 $d\varphi/dt$ 的表达式及奥-高定理，也可写成 $\frac{d}{dt}\int_\tau \varphi\,d\tau=\int_\tau \left(\frac{d\varphi}{dt}+\varphi\operatorname{div}\boldsymbol{v}\right)d\tau$。

矢量 $\boldsymbol{a}$ 的物质体积分的随体导数为$\frac{d}{dt}\int_\tau \boldsymbol{a}\,d\tau=\int_\tau \left(\frac{\partial\boldsymbol{a}}{\partial t}+\boldsymbol{a}\operatorname{div}\boldsymbol{v}+(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{a}\right)d\tau$，即等于 $\int_\tau \left(\frac{d\boldsymbol{a}}{dt}+\boldsymbol{a}\operatorname{div}\boldsymbol{v}\right)d\tau$。

面积元的随体导数：由线段元 $\delta\boldsymbol{r}$ 与面积元 $\delta\boldsymbol{S}$ 组成的柱体体积 $\delta\tau=\delta\boldsymbol{r}\cdot\delta\boldsymbol{S}$ 取随体导数，利用线段元与体积元的随体导数公式，可得面积元的随体导数公式。

物质线、面、体上可定义各种物理量：物质线上定义速度环量 $\oint \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r}$，物质面上考虑涡通量 $\int \boldsymbol{\Omega}\cdot d\boldsymbol{S}$，物质体上研究质量 $\int\rho\,d\tau$、动量 $\int\rho\boldsymbol{v}\,d\tau$、动能等。随着时间推延，物质线、面、体不断改变位置和形状并维持连续性，因此这些物理量随时间不断改变。刻画这些变化的量就是相应积分的随体导数。

物质体积分的随体导数有两种等价形式：一种是 $\int_\tau\left(\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\operatorname{div}(\varphi\boldsymbol{v})\right)d\tau$，另一种是 $\int_\tau\left(\frac{d\varphi}{dt}+\varphi\operatorname{div}\boldsymbol{v}\right)d\tau$。前者通过奥-高定理还可写成体积分加面积分的形式，后者更适合与拉格朗日观点联系。