流体力学（第二版）

速度势函数 φ 与速度矢量的关系为 $\boldsymbol{v}=\operatorname{grad}\varphi$。已知速度矢量求速度势的公式为 $\varphi(M)=\varphi(M_0)+\int_{M_0}^{M}\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r}$。φ(M₀) 可以任意选择，因此速度势函数在不同选取下可以差一常数，但这并不影响流动本质。

连通区域：区域内任两点都可用区域内一连续曲线连接则称为连通的；区域内任一封闭曲线可以不出边界地连续收缩到一点则称为单连通区域。能作 n−1 个分隔面而不破坏区域连通性的称为 n 连通区域，能作一个分隔面的称为双连通区域。圆环内部区域是双连通区域。

在单连通区域内沿任一封闭回线的速度环量皆等于零，线积分 $\int\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r}$ 与积分路线无关，速度势函数是单值函数；在双连通区域内，线积分与路线有关，速度势函数是多值函数，各值之间相差 kΓ，其中 Γ 为环量。孤立涡管外的无旋区域是双连通区域。

速度势函数在流体内部不能有极大值或极小值；速度的大小在流体内不能达到极大值，速度的极大值位于流动区域的边界上；在流体内部压强不能达到极小值，压强极小值只可能发生在边界点上。一般说来，压强极小点的位置和速度极大点的位置并不重合，只有当流动定常、重力可忽略时两者才完全相同。

有界单连通区域动能的表达式为 $T=\frac{\rho}{2}\left(\int_{S_1}\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial n}\,dS+\int_{S_2}\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial n}\,dS\right)$。区域内动能 T 只依赖于边界上的 φ 及 ∂φ/∂n。若在边界上 φ=0（固壁）或 φ=常数，则 T=0，V=0，即流体是静止的。

若在边界 S 上无旋运动和有旋运动具有相同的边界条件，则单连通区域内无旋运动的动能小于有旋运动的动能。设 v 是无旋运动的速度，v' 是有旋运动的速度，则动能差 $T'-T=\frac{\rho}{2}\int_\tau(v'^2-v^2)\,d\tau>0$。