流体力学（第二版）

运动方程由动量定理导出。任取体积为 $\tau$ 的流体，根据动量定理，体积中流体动量的变化率等于作用在该体积上的质量力和面力之和。积分形式的动量方程为$\int_\tau \frac{\partial(\rho\boldsymbol{v})}{\partial t}\,d\tau+\oint_S \rho v_n\boldsymbol{v}\,dS=\int_\tau \rho\boldsymbol{F}\,d\tau+\oint_S \boldsymbol{P}_n\,dS$。

微分形式的动量方程（运动方程）：$\rho\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\rho\boldsymbol{F}+\operatorname{div}\boldsymbol{P}$，其中 $\rho\,d\boldsymbol{v}/dt$ 表示单位体积上的惯性力，$\rho\boldsymbol{F}$ 表示单位体积上的质量力，$\operatorname{div}\boldsymbol{P}$ 表示单位体积上应力张量的散度（与面力等效的体力分布函数）。运动方程表明单位体积上的惯性力等于单位体积上的质量力加上应力张量的散度。

微分形式的动量矩定理只给出应力张量是对称的这一已经知道的结论，并不给出新的方程。

利用基本运算公式，加速度可写成$\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t}+\operatorname{grad}\frac{v^2}{2}+\operatorname{rot}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{v}$。这一形式将 $(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}$ 中的位势部分和涡旋部分分开，在解决具体问题时常常是方便的。

兰姆-葛罗麦卡（Lamb-Громека）运动方程：$\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t}+\operatorname{grad}\frac{v^2}{2}+\operatorname{rot}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{v}=\boldsymbol{F}+\frac{1}{\rho}\operatorname{div}\boldsymbol{P}$。它是运动方程用加速度分解形式写出的结果。

运动坐标系中的运动方程：$\frac{d'\boldsymbol{v}_r}{dt}=\boldsymbol{F}+\frac{1}{\rho}\operatorname{div}\boldsymbol{P}-\boldsymbol{w}_e-2(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}_r)$，其中 $\boldsymbol{w}_e$ 是牵连加速度，$2(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}_r)$ 是科里奥利加速度。只要将外力 $\boldsymbol{F}$ 换成虚拟外力 $\boldsymbol{F}-\boldsymbol{w}_e-2(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}_r)$，则运动坐标系中的运动方程和绝对坐标系中的运动方程具有完全相同的形式。

绝对加速度 $\boldsymbol{w}_a$ 与相对加速度 $\boldsymbol{w}_r$ 的关系为 $\boldsymbol{w}_a=\boldsymbol{w}_r+\boldsymbol{w}_e+\boldsymbol{w}_c$，其中牵连加速度 $\boldsymbol{w}_e=\frac{d\boldsymbol{v}_0}{dt}+\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\times\boldsymbol{r}+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})$，科里奥利加速度 $\boldsymbol{w}_c=2(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}_r)$。

运动方程在直角坐标系中的分量形式：$\rho\frac{du}{dt}=\rho F_x+\frac{\partial P_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial P_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial P_{zx}}{\partial z}$，其余分量类似。

运动方程的两种常用推导途径：控制面方法（对有限体积用动量定理）和体积元方法（对微元用动量定理）。两种方法都基于动量定理，得到相同的运动方程。