流体力学（第二版）

实际问题常需将几个波长不同的平面波叠加形成波群。考虑两个周期相差很小的进波叠加，其自由面为 $\zeta=2a\cos\left(\frac{k-k'}{2}x-\frac{\omega-\omega'}{2}t\right)\cos\left(\frac{k+k'}{2}x-\frac{\omega+\omega'}{2}t\right)$：第一个余弦因子对应波长 4π/(k+k') 的单个波，第二个对应波长 4π/(k-k') 的波群。

单个波的传播速度即波速 $c=\frac{\omega+\omega'}{k+k'}\approx\frac{\omega}{k}$，与单个平面波的相速一致；波群最大振幅位置的传播速度即群速 $v_g=\frac{\omega-\omega'}{k-k'}$。

因 $\omega=kc$，群速可写成 $v_g=\frac{d\omega}{dk}=c+k\frac{dc}{dk}$，或对波长 $v_g=c-\lambda\frac{dc}{d\lambda}$。当波速 c 与波长 λ 无关时，群速等于波速；若 c 依赖 λ，则群速与波速不等，此现象称为波的色散。

对无限深流体进波，由 $\omega=\sqrt{gk}$ 得群速 $v_g=\frac{d\omega}{dk}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}=\frac{c}{2}$。即在无界流体进波情形，群速是波速的一半。

对无限深流体进波，由 $\omega=\sqrt{gk}$ 直接求导得群速 $v_g=\frac{d\omega}{dk}=\frac{g}{2\omega}=\frac{c}{2}$。从物理上看，无限深进波是色散波，故群速（波能传播速度）只有相速的一半，这就是海上波群落后于单个波峰的原因。

波群与单个波以不同速度传播：单个波的波节由 $(k+k')x/2-(\omega+\omega')t/2=\text{常数}$ 决定，传播速度约等于相速 c；波群最大振幅位置由 $(k-k')x/2-(\omega-\omega')t/2=0$ 决定，传播速度即群速。二者速度一般不同。