流体力学（第二版）

黏性、不正压、外力无势是产生涡旋运动的三个要素。本节通过具体例子说明流体不正压及外力无势时涡旋是如何产生的。

理想流体且外力有势时，环量的随体变化公式为$\frac{d\Gamma}{dt}=-\oint_L \frac{1}{\rho}\operatorname{grad}p\cdot d\boldsymbol{r}=-\int_S \frac{1}{\rho^2}(\operatorname{grad}\rho\times\operatorname{grad}p)\cdot d\boldsymbol{S}$。如果流体是正压的，即 $\rho=\rho(p)$，则 $\operatorname{grad}\rho\times\operatorname{grad}p=0$，环量守恒；若流体是斜压的，则 $\operatorname{grad}\rho\times\operatorname{grad}p\neq 0$，环量随时间变化，即产生或消灭了涡旋。

等压面和等密度面：p=常数和 ρ=常数的曲面分别称为等压面和等密度面。当流体是正压时，等压面和等密度面重合，法线方向 $\operatorname{grad}p$ 及 $\operatorname{grad}\rho$ 重合，于是 $\operatorname{grad}\rho\times\operatorname{grad}p=0$。如果流体是斜压，等压面和等密度面将相交，于是 $\operatorname{grad}\rho\times\operatorname{grad}p\neq 0$。

利用 $\operatorname{grad}\rho$、$\operatorname{grad}p$、$d\boldsymbol{S}$ 三个矢量的相互位置可以判断环量随时间增加还是减少：若 $\operatorname{grad}\rho\times\operatorname{grad}p$ 的方向与 $d\boldsymbol{S}$ 成锐角，则 $d\Gamma/dt>0$；成钝角则 $d\Gamma/dt<0$。

贸易风（信风）的产生：考虑环绕地球的大气层，设大气是干燥的，则压强 p、密度 ρ、温度 T 以克拉珀龙方程 $p=\rho RT$ 联系起来。由于太阳照射强度不同，赤道温度比北极高，等密度面自赤道开始向上倾斜直至北极，与等压面相交，于是 $d\Gamma/dt>0$，产生逆时针方向流动的环量，这就是赤道国家的贸易风。

科氏力对环量变化的影响：考虑地球自转，在运动坐标系中相对运动方程含科里奥利项 $-2(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}_r)$。科氏力的出现使外力无势或不再具有单值势。对垂直于地球自转轴线的圆 L，$(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}_r)\cdot d\boldsymbol{r}$ 是正的量，于是 $d\Gamma/dt<0$，产生顺时针方向由东向西的风，使贸易风自东北向西南吹。

黏性是促使涡旋产生、发展、消失的最经常也是最重要的因素。绝大多数黏性流体运动都是有旋运动。