流体力学（第二版）

变形速度张量对角线分量 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 的物理意义分别是 $x,y,z$ 轴线上线段元 $\delta x,\delta y,\delta z$ 的相对拉伸速度或相对压缩速度。例如 $\varepsilon_1=\frac{1}{\delta x}\frac{d(\delta x)}{dt}$。

变形速度张量非对角线分量的两倍 $2S_{12},2S_{23},2S_{31}$ 的物理意义分别是 $y$ 与 $z$ 轴、$z$ 与 $x$ 轴、$x$ 与 $y$ 轴之间夹角的剪切速度的负值。

变形二次曲面 $S_{11}x^2+S_{22}y^2+S_{33}z^2+2S_{23}yz+2S_{31}zx+2S_{12}xy=1$ 与变形速度张量之间存在一一对应关系，可作为变形速度张量的几何描述。有了变形二次曲面后，流体微团中任一点上的变形速度都可几何地做出。

变形速度张量恒有三个互相垂直的主轴，以这三个主轴为正交直角坐标系，变形速度张量可写成对角形式，其对角元 $e_1',e_2',e_3'$ 称主相对拉伸速度。主轴之间夹角在变形过程中不承受剪切，主轴上的质点线段元以 $e_i'$ 的相对拉伸速度变形后仍在主轴方向。

变形速度张量有三个基本不变量，其中第一个不变量 $I_1=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3=\operatorname{div}\boldsymbol{v}$。根据散度的定义，$\operatorname{div}\boldsymbol{v}=\frac{1}{\delta V}\frac{d(\delta V)}{dt}$，故不变量 $I_1$ 即散度的物理意义是相对体积膨胀率。

一般的变形运动可分解为均匀膨胀运动和没有体积变化的变形运动之和：$S=\frac{1}{3}(\operatorname{div}\boldsymbol{v})E+S'$，其中第一部分是均匀膨胀（速率 $\frac{1}{3}\operatorname{div}\boldsymbol{v}$），第二部分是无体积变化的变形部分，可再分解为纯剪切与旋转。

例：平面均匀剪切运动速度分布为 $u=ay,\ v=0$，其中 $a$ 为常数。有 $\operatorname{rot}\boldsymbol{v}=(0,0,-a)$，变形速度势 $\varphi=\frac{1}{2}a\delta x\delta y$，变形速度张量的主值为 $\lambda_1=\frac{a}{2},\ \lambda_2=-\frac{a}{2},\ \lambda_3=0$，主轴方向分别为 $(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1)$，对应的变形二次曲面为双曲面。

变形速度张量各分量在正交曲线坐标 $(g_1,g_2,g_3)$ 中的表达式用到拉梅系数 $H_1,H_2,H_3$，例如 $S_{11}=\frac{1}{H_1}\frac{\partial v_1}{\partial g_1}+\frac{v_2}{H_1H_2}\frac{\partial H_1}{\partial g_2}+\frac{v_3}{H_1H_3}\frac{\partial H_1}{\partial g_3}$，非对角线分量如 $2S_{12}=\frac{1}{H_2}\frac{\partial v_1}{\partial g_2}+\frac{1}{H_1}\frac{\partial v_2}{\partial g_1}-\frac{v_1}{H_1H_2}\frac{\partial H_1}{\partial g_2}-\frac{v_2}{H_1H_2}\frac{\partial H_2}{\partial g_1}$。

线段元的随体导数 $\frac{d}{dt}(\delta\boldsymbol{r})=\delta\boldsymbol{v}$，即同一时刻内两点间速度差；体积元的随体导数 $\frac{1}{\delta V}\frac{d(\delta V)}{dt}=\operatorname{div}\boldsymbol{v}$。这是推导物质积分随体导数的基础。