流体力学（第二版）

积分形式的动量方程及动量矩方程为$\frac{\partial}{\partial t}\int_\tau\rho\boldsymbol{v}\,d\tau+\oint_S \rho\boldsymbol{v}_n\boldsymbol{v}\,dS=\int_\tau\rho\boldsymbol{F}\,d\tau+\oint_S \boldsymbol{P}_n\,dS$，$\frac{\partial}{\partial t}\int_\tau \boldsymbol{r}\times\rho\boldsymbol{v}\,d\tau+\oint_S \rho\boldsymbol{v}_n(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v})\,dS=\int_\tau\boldsymbol{r}\times\rho\boldsymbol{F}\,d\tau+\oint_S\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{P}_n\,dS$。阻碍人们顺利应用的主要是非定常运动时的体积分 $\int_\tau\frac{\partial(\rho\boldsymbol{v})}{\partial t}\,d\tau$。

当运动是定常的时候，影响动量方程和动量矩方程顺利使用的项自动消失，得定常运动的动量定理和动量矩定理$\oint_S\rho\boldsymbol{v}_n\boldsymbol{v}\,dS=\int_\tau\rho\boldsymbol{F}\,d\tau+\oint_S\boldsymbol{P}_n\,dS$。控制面 S 可自由选取，选取得好，利用边界上的流动参数常常可以得到有关整体性特征量方面意想不到的好结果。动量定理既适用于理想流体也适用于黏性流体。

孔口出流的反推力：取包含孔口的封闭曲线为控制面，对理想流体应用动量定理，得流体对容器的反作用力 $R_x=-2\alpha\rho ghS_B\,\hat{x}$，方向与射流方向相反。由此得收缩系数 $\alpha=\frac{1}{2}$。这个结果对波尔达（Borda）喷嘴与实验结果基本符合，对其他形状的孔口（如圆孔 α=0.61~0.64）约有 20% 的误差。

泽格纳（Segner）水轮利用孔口出流的反作用力实现旋转，从而它可以举起重物或作别的用途。现在的草地喷水器边洒水边旋转就是利用这个原理。

火箭发动机工作原理：将整个发动机作为系统运用动量定理（气体理想、定常、重力可忽略），单位时间流出控制面的动量为 $\rho_e V_e^2 A_e$，由动量定理得推力 $R=\rho_e V_e^2 A_e+A_e(p_e-p_a)$。根据作用与反作用原理，发动机对支架的作用力与 R 相等方向相反，这个力就是发动机的推力。

作用在翼栅上的力：翼栅由一排完全相同的互相平行的无穷多个叶片组成。考虑理想不可压缩流体，重力可忽略，取由两条地位相同的流线和两条与 x 轴平行的直线组成的控制面，应用动量定理得 $X=\rho d\,v_2(u_1-u_2)$，$Y=\rho d\,u_2(v_2-v_1)$。

翼栅绕流沿控制面的环量 $\Gamma=d(u_1-u_2)$。由伯努利-拉格朗日积分可推得翼栅合力 $R=\rho\,\Gamma V_m$，其中 V_m 是合平均速度。此式说明流体对叶片的作用力大小 R 和环量 Γ 成正比，还和流体密度 ρ 以及合平均速度大小 V_m 成正比。

射流冲击平板问题：一宽为 a 的平面射流以匀速 V 倾斜射向无穷长平板，接触平板后分成两支沿平板方向流动，远处厚度分别为 a₁, a₂。对包括无穷远处三支流动横截面在内的封闭曲线应用动量定理，得射流对平板的压力 $P=\rho aV^2\sin\alpha$。压力与 $\rho V^2$、a、sinα 成正比，垂直冲击作用力最大，平行冲击作用力为零。

射流冲击平板的流量分配：由平行方向的动量方程及连续性方程联立解出 $a_1=\frac{a}{2}(1+\cos\alpha)$，$a_2=\frac{a}{2}(1-\cos\alpha)$。当 α=π/2 时 a₁=a₂=a/2；当 α=0 时 a₁=a，a₂=0。利用动量矩定理可求出压力作用点到 O 点的距离 $e=\frac{a}{2}\cot\alpha$。

射流偏离垂直方向时会产生一力矩，此力矩力图使平板沿逆时针方向绕 O 点旋转，回复到与射流垂直的位置，而且倾斜得越厉害，回复的力矩也越大。第二次世界大战中发展起来的反坦克穿甲弹的工作原理可以用上述射流理论阐明。