流体力学（第二版）

所有流体运动都要满足基本方程组，但满足同一方程组的流体运动仍然千差万别。只有确定了初始状态和边界状态之后，流体的运动才具有独一无二的形态。基本方程组通解中包含的任意函数只有在给定初始条件和边界条件之后才具有唯一确定的解。

初始条件：在初始时刻 $t=t_0$ 时给定 $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{r},t_0)=\boldsymbol{v}_1(\boldsymbol{r})$，$p(\boldsymbol{r},t_0)=p_1(\boldsymbol{r})$，$\rho(\boldsymbol{r},t_0)=\rho_1(\boldsymbol{r})$，$T(\boldsymbol{r},t_0)=T_1(\boldsymbol{r})$。如果研究流体的定常运动则不需要给出初始条件；如果研究不可压缩流体运动，则不需要给出压强初始条件。

无穷远处的边界条件（如飞机在高空飞行）：$r\to\infty$ 时 $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_\infty$，$p=p_\infty$，$\rho=\rho_\infty$，$T=T_\infty$。

两介质界面处，若两介质互不渗透且不分离，则界面处速度的法向分量应连续：$(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n})_1=(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n})_2$。对真实流体（有黏性），切向速度分量 $v_t$ 和温度 $T$ 在界面处连续：$(v_t)_1=(v_t)_2$，$T_1=T_2$。而密度在两介质界面上一般是间断的。

两介质界面处的应力条件（考虑表面张力）：$\boldsymbol{P}_1\cdot\boldsymbol{n}-\boldsymbol{P}_2\cdot\boldsymbol{n}=\sigma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)\boldsymbol{n}$，其中 $R_1$ 与 $R_2$ 是任意两个包含 $\boldsymbol{n}$ 的正交平面和界面交线的曲率半径，$\sigma$ 是表面张力系数。界面处温度连续且热流连续：$T_1=T_2$，$k_1\frac{\partial T}{\partial n}\Big|_1=k_2\frac{\partial T}{\partial n}\Big|_2$。

固壁处边界条件：速度连续 $\boldsymbol{v}_{\text{流}}=\boldsymbol{v}_{\text{固}}$，温度连续，热流连续。当固壁静止时 $\boldsymbol{v}_{\text{流}}=0$，这称为黏附条件或无滑移条件，是黏性流体重要假设之一。其正确性的重要依据是连续介质假设成立条件下大量理论结果和实验观测一致（如圆管流动）。对理想流体，固壁条件退化为不穿透条件 $(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n})=0$。

自由面处边界条件（气-液界面，忽略表面张力）：切应力为零 $t_i\sigma_{ij}n_j=0$，法向应力条件 $p-2\mu(S_{ij}n_in_j)=p_a$，其中 $p_a$ 是气相常压（如大气压强）。理想流体时简化为 $p=p_a$。