流体力学（第二版）

湍流运动中每一点的速度有一平均值，真实速度和平均速度之差称脉动速度（速度涨落）。脉动频率在每秒 10² 到 10⁶ 次之间，振幅小于平均速度的 10%。宏观流体团通过脉动剧烈交换质量、动量和能量，产生湍流扩散、湍流摩擦阻力和湍流热传导，其强度远大于分子运动的相应量。

平均化运算定义 $\bar{f}=\frac{1}{T}\int_{t-T/2}^{t+T/2}f\,d\tau$，其中平均周期 T 应比湍流脉动周期大得多（保证稳定平均值），又比流动非定常运动特征时间小得多。平均化法则有：$\bar{\bar{f}}=\bar{f}$，$\bar{f'}=0$，$\overline{\frac{\partial f}{\partial x}}=\frac{\partial\bar{f}}{\partial x}$。

对纳维-斯托克斯方程作平均化运算，得平均流动满足的雷诺方程。与黏性流体方程相比，多了雷诺应力张量 $P'_{ij}=-\rho\overline{u'_i u'_j}$（共 9 个分量，如 $P'_{xx}=-\rho\overline{u'^2}$、$P'_{xy}=-\rho\overline{u'v'}$ 等，为对称二阶张量）。若在黏性应力之外加上湍应力，平均流动方程可写成与黏性流体方程组相同的形式。

湍流对管流的影响：层流时管内速度分布是抛物线型，平均速度是最大速度的一半，维持运动的压强梯度与平均速度一次方成正比；过渡到湍流后由于激烈掺混，管内速度几乎是一常数，只在管壁附近出现极大速度梯度（对数型曲线），平均速度约为最大速度的 80%~90%，压强梯度几乎与速度平方成正比。

平均化的统计方法：把流场中任一点的瞬时物理量看作平均值和脉动值之和，用统计平均方法从纳维-斯托克斯方程出发研究平均运动的变化规律。工程中感兴趣和实验测量出的物理量都是平均意义下的数值。