流体力学（第二版）

在工程实践中常碰到一个方向的尺度比另外两个方向大得多的物体（烟囱、电线杆、机翼等），其绕流可近似看作横截面形状不变的柱体绕流。取柱体母线方向为 z 轴，则可近似认为流体运动只在与 Oxy 平面平行的平面内进行，这就是平面运动。

不可压缩流体平面运动中，引入流函数 ψ，使 $u=\frac{\partial\psi}{\partial y}$，$v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}$。流函数满足连续性方程，沿同一条流线流函数取常数值。

流函数可以存在于黏性、有旋、非定常等情形，因为导出流函数时只假定流体不可压缩、运动是平面的。流函数的存在可以用一个函数 ψ 代替两个速度分量 u 和 v，从而减少未知函数的个数。

平面无旋问题中，流函数也满足拉氏方程：$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}=0$。因为无旋时 $\omega_z=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)=0$。

在单连通区域内若不存在源汇，则流函数是单值函数；若单连通区域内有源汇或在双连通区域内，则流函数一般说来是多值函数，且各值之间相差 $kQ+\Gamma$，其中 k 是封闭回线的圈数。

两流函数之差 $\psi_2-\psi_1$ 表示通过两条流线之间单位厚度的体积流量（体积流量函数）。