流体力学（第二版）

平面波假设：只考虑 Ozx 平面上的平面波，运动与 y 无关；并假定流体无界（深度与两侧均伸展到无穷远），这是深度和长度比波长大得多时的近似模型，此时固壁边界条件被 z=-∞ 处 $\partial\varphi/\partial z=0$ 及两侧速度有限的条件代替。

用分离变量法 $\varphi(x,z,t)=T(t)\Psi(x,z)$ 求解，得到 $T''(t)+\omega^2T(t)=0$ 与 $X''+k^2X=0,\quad Z''-k^2Z=0$。结合 z=-∞ 处条件与自由面条件，得色散关系 $\omega^2=gk$。

驻波的速度势为 $\varphi=Ce^{kz}\sin(kx)\cos(\omega t)$，其自由面形状为 $\zeta=a\sin(\omega t)\sin(kx)$。对固定时刻它是正弦曲线，其中与 Ox 轴的交点称为波节，极大值与极小值点分别称为波峰与波谷。

两波节间距离为 π/k，两个波峰或波谷之间的距离即波长 $\lambda=2\pi/k$，$k=2\pi/\lambda$ 称为波数；振动的周期 $\tau=2\pi/\omega$，频率 $n=1/\tau$，角频率 $\omega=2\pi n$，振幅为 |a|。

色散关系 $\omega^2=gk$ 表明波数与角频率、波长与周期之间是平方正比关系：波数愈大角频率愈大；波长愈大周期愈大。由此得周期与波长的关系 $\tau=2\pi\sqrt{\lambda/g}$。

驻波的速度场为 $u=a\omega e^{kz}\cos(kx)\cos(\omega t)$，$w=a\omega e^{kz}\sin(kx)\cos(\omega t)$；随 z→-∞ 按指数律趋于零，说明表面波的运动主要限制在自由面附近。

驻波中流体质点的轨迹是直线，其倾角为 kz₀：在节点处 tan(kz₀)=0，质点做水平振动；在波峰、波谷处质点做垂直振动。质点振幅为 $a e^{kz_0}$，随深度指数衰减，例如在深度等于波长处振幅已减至自由面处的 1/535，说明波动现象具有明显的表面性质。

将初相相差 π/2 的两个驻波解叠加得进波（行波）解 $\varphi=Ce^{kz}\sin(kx-\omega t)$，其自由面形状为 $\zeta=a\cos(kx-\omega t)$。整个波面以速度 $c=\omega/k$ 向正 x 轴方向移动，c 称为波速（相速）。

利用色散关系 $\omega=\sqrt{gk}$ 与 $k=2\pi/\lambda$，相速可写成多种形式：$c=\omega/k=\sqrt{g/k}=g/\omega=\sqrt{g\lambda/2\pi}=\sqrt{g\tau/2\pi}$。相速与波长的平方根或周期的平方根成正比，与波数的平方根或角频率的平方根成反比。

进波中每个流体质点近似做圆周运动，半径 $a e^{kz_0}$，质点沿顺时针方向运动：波峰处质点运动方向与波前进方向相同，波谷处相反。质点运动速度与波速之比为 a/λ 量阶，故质点速度远小于波速。