流体力学（第二版）

长波是指波长远大于流体深度的波：$\lambda\gg h$，且对小振幅长波还有 $\lambda\gg h\gg a$。海洋江河中的劲浪及潮汐波等都是长波，例如深 5 km 的海洋中劲浪振幅 50 m、波长可达 5000 km。

长波情形下，z 方向运动方程中惯性项为二阶小量，与重力及压力梯度相比可忽略，故压强满足静力学公式 $p=p_0+\rho g(\zeta-z)$，即压强函数与自由面形状之间存在有限关系式，问题简化为求 u 与 ζ。

长波的基本方程组为 $\frac{\partial u}{\partial t}=-g\frac{\partial\zeta}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial\zeta}{\partial t}=-\frac{\partial(hu)}{\partial x}$。前者由 x 方向运动方程结合静水压强近似得出；后者由质量守恒（流量变化等于自由面高度变化引起）得出。

在深度 h 为常数的情形，从长波方程组消去 u 得波动方程 $\frac{\partial^2\zeta}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2\zeta}{\partial x^2}$，其中 $c=\sqrt{gh}$，其普遍解为 $\zeta=F(x-ct)+f(x+ct)$。

长波的传播速度 $c=\sqrt{gh}$ 只与深度 h 有关，与波长无关。确定的 ζ 值及 u 值以速度 c 向右（F）或向左（f）运动；一般情形代表左、右传播波的叠加，任意函数由初始条件与边界条件确定。

虽然波面以速度 c=√(gh) 向右传播，但流体质点只做微小的振动：在 dt 时间内质点位移 $\zeta_2-\zeta_1=-\frac{c}{h}\int_{x-ct_1}^{x-ct_2}F(s)\,ds$，其值很小且时正时负，说明质点在平衡位置附近做微小振动。

长波方程的第二个方程来自质量守恒：dt 时间内体积 ABA'B' 内因流进流出而减少的质量为 $\frac{\partial[\rho u(h+\zeta)]}{\partial x}dx\,dt$，而自由面变化引起的质量减少为 $\rho\frac{\partial\zeta}{\partial t}dx\,dt$。令两者相等并略去二阶小量项，即得 $\frac{\partial\zeta}{\partial t}=-\frac{\partial(hu)}{\partial x}$。

小振幅长波同时具有小振幅波与长波的特性：小振幅波特性是几何参数 ζ 与 ∂φ/∂z、力学参数 u 及其偏导数皆为一阶小量；长波特性则由连续性方程 $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial z}=0$ 结合边界条件给出 $\frac{\partial w}{\partial z}$ 与 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 同量阶的估计。