流体力学（第二版）

对定常绝热等熵无激波的可压缩流动，伯努利积分 $\frac{V^2}{2}+i=\frac{V^2}{2}+\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p}{\rho}=C(\psi)$ 中出现三个未知函数 V、p、ρ，还必须补充绝热方程 $p/\rho^\gamma=\Theta(\psi)$ 和状态方程 p=ρRT。伯努利积分与绝热方程右边的常数分别代表每条流线的总焓与熵。

常用特征参考量有四种：1）驻点参考量（V=0 时 p₀、ρ₀、T₀、i₀、a₀，取最大值，又称滞止/总参考量）；2）最大速度参考量（V_max=√(2i₀)，此时 T=0、a=0、ρ=0、p=0）；3）临界参考量（V*=a*，临界速度等于临界声速）；4）指定特征参考量（如无穷远来流，下标 1 表示）。

驻点参考量：驻点处动能等于零、焓取最大值 i₀，称为总焓。总焓沿流线守恒，动能与焓相互转化。例如远方空气 T∞=288K、飞行速度 V∞=450m/s 时，总温约 $T_0=(288+20\%)\,\mathrm{K}=388\,\mathrm{K}$。

临界参考量：在 V–a 平面（四分之一椭圆）上，速度从 0 增到 V_max 时声速从最大值降到 0，中间必有一点流速等于声速，记作 V*=a*，相应的压强、密度、温度、焓称临界压强、临界密度、临界温度、临界焓。临界声速 $a_*^2=\frac{2(\gamma-1)}{\gamma+1}C$ 只决定于总焓 C。

无量纲速度：用当地声速作参考量得马赫数 $Ma=V/a$，变化范围为 [0,∞]；用临界声速作参考量得速度系数 $\lambda=V/a_*$，当 λ>1、=1、<1 时分别对应超声速、声速、亚声速；用最大速度作参考量得 $\tau=V/V_{max}$，变化范围为 [0,1]。

马赫数与速度系数的换算关系：$Ma^2=\frac{2}{\gamma+1}\frac{\lambda^2}{1-\frac{\gamma-1}{\gamma+1}\lambda^2}$。亚声速区（λ<1）有 λ>Ma；超声速区（λ>1）有 λ<Ma。λ 的分母用临界声速，而临界声速只依赖流线号码，在匀总焓流动中整个流场为同一常数，比 Ma 更方便。

无量纲热力学参量之间的内部关系式：$\frac{p}{p_0}=\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^\gamma=\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}=\left(\frac{a}{a_0}\right)^{2\gamma/(\gamma-1)}$。因此 p、ρ、T、a、i 的变化趋势一致：要增加一起增加，要减少一起减少，取极值一起取极值，其中变化最快的是 p，次之是 ρ、T 及 a。

无量纲热力学参量与马赫数的关系：$\frac{T}{T_0}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}Ma^2\right)^{-1},\quad \frac{p}{p_0}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}Ma^2\right)^{-\gamma/(\gamma-1)}$。注意因子 $(1+\frac{\gamma-1}{2}Ma^2)$ 的幂次：p/p₀ 是负的（−γ/(γ−1)），而 p₀/p 与 T₀/T 是正的，不要记错。

速度与热力学参量变化趋势相反：速度增加时动能增加、焓（温度）减少，气体膨胀，温度与压强相应减少；速度减少时气体被压缩，温度与压强提高。

空气 γ=1.4 时的临界参考量：$p_*=0.528\,p_0,\quad \rho_*=0.634\,\rho_0,\quad T_*=0.833\,T_0,\quad a_*=0.913\,a_0$。这些数值很重要，请读者注意。