流体力学（第二版）

设 $P$ 为二阶张量，对任意非零矢量 $a$ 作内积 $P\cdot a=b$。若 $b$ 与 $a$ 共线，即 $P\cdot a=\lambda a$，则称 $a$ 的方向为张量 $P$ 的主轴方向，$\lambda$ 称为主值。

由 $P\cdot a=\lambda a$ 展开得到确定主值 $\lambda$ 的三次代数方程（特征方程）$\det(p_{ij}-\lambda\delta_{ij})=0$。它有三个根，可以是三个实根，也可以是一个实根加两个共轭复根。

二阶张量的三个不变量：$I_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$，$I_2=\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1$，$I_3=\lambda_1\lambda_2\lambda_3$。它们不随坐标轴转换而改变，由基本不变量可作出无穷多个不变量。

共轭张量：$P_c$ 的分量为 $p_{ji}$（即转置）。若 $p_{ij}=p_{ji}$ 为对称张量（6 个独立分量），若 $p_{ij}=-p_{ji}$ 为反对称张量（3 个独立分量）。对称性与反对称性都是不因坐标转换而改变的性质。

张量分解定理：任意二阶张量可唯一分解为一个对称张量与一个反对称张量之和：$P=S+A$，其中 $S=\frac{1}{2}(P+P_c)$，$A=\frac{1}{2}(P-P_c)$。

主值 $\lambda$ 是标量即不变量，故张量分量的组合 $I_1,I_2,I_3$ 亦为不变量，分别称为二阶张量 $P$ 的第一、第二和第三不变量。