流体力学（第二版）

研究涡旋的动力学性质有两条途径：第一条途径是直接研究涡通量的随体变化规律；第二条途径是间接研究速度环量的随体变化规律，然后通过斯托克斯定理再求出涡旋的随体变化规律。两种方法都能得到相同的结果。

对 $\rho=\text{常数}$、$\lambda'=0$ 时兰姆-葛罗麦卡形式的运动方程两边取旋度，利用场论基本运算公式并考虑到 $\nabla\cdot\boldsymbol{\Omega}=0$，得涡量应满足的微分方程（涡量方程）：$\frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt}-(\boldsymbol{\Omega}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\Omega}(\nabla\cdot\boldsymbol{v})=\nabla\times\boldsymbol{F}-\nabla\times\frac{\nabla p}{\rho}+\nabla\times(\mu\Delta\boldsymbol{v})$。

若流体是理想正压的且外力有势（$\mu=0$，$\boldsymbol{F}=-\nabla V$），则涡量方程右边各项皆为零，变为$\frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt}-(\boldsymbol{\Omega}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\Omega}(\nabla\cdot\boldsymbol{v})=0$，称为亥姆霍兹方程。

均质不可压缩黏性流体在有势外力作用下，其涡量满足方程 $\frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt}-(\boldsymbol{\Omega}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}=\nu\Delta\boldsymbol{\Omega}$，其中 $\nu$ 是运动黏度。黏性项 $\nu\Delta\boldsymbol{\Omega}$ 体现了涡旋的扩散。

涡量的一半 $\boldsymbol{\Omega}/2$ 除可看成涡量一半外，还可理解为单位转动惯量上的动量矩。考虑球心在 O 点半径为 $a$ 的无限小球形微团，利用速度分解定理可得其动量矩 $\boldsymbol{L}=\frac{1}{2}J\boldsymbol{\Omega}$，其中 $J$ 是相对于通过球心任意轴线的转动惯量。

影响动量矩发生变化的因素有五个：（1）外力；（2）压强梯度；（3）黏性应力；（4）流体的压缩或膨胀，即 $-\boldsymbol{\Omega}(\nabla\cdot\boldsymbol{v})$ 项；（5）涡线的拉伸、压缩和扭曲，即 $(\boldsymbol{\Omega}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}$ 项。后两项是动量方程中所没有的。

当流体被压缩时有 $\nabla\cdot\boldsymbol{v}<0$，它将使转动惯量减少，从而使动量矩发生变化。涡线拉伸时涡量增大，这体现了涡管变细、涡量增强的机制。

与动量变化不同的是：当外力有势、流体正压时，外力和压强梯度对动量矩变化没有贡献，而它们在运动方程中对动量的变化却仍起作用。