流体力学（第二版）

剪切流动 $u=ay,\ v=0,\ w=0$ 的旋度 $(\operatorname{rot}\boldsymbol{v})_z=-a$，处处有旋；点涡流动 $v_\theta=\frac{b}{r}$ 除原点外处处无旋。这两个例子与直观判断刚好相反：做直线运动的剪切流动有旋，做圆周运动的点涡流动却无旋。

判断流体运动在该点是否有旋，必须看流体微团是不是在自转，而不是看它有没有绕中心作圆周运动。刚体一点有旋则点点有旋，一点可以代表全体，这是刚体整体性质的标志；流体则必须逐点检验，这是流体局部性质的体现。

涡量定义为 $\boldsymbol{\Omega}=\operatorname{rot}\boldsymbol{v}$。流动区域各点均有一个确定的向量 $\operatorname{rot}\boldsymbol{v}$，从而组成一矢量场，称为涡旋场。涡量不仅依赖于点的空间位置，也依赖于时间：$\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\Omega}(\boldsymbol{r},t)$。

涡线是涡旋场中这样一条曲线：此曲线上每一点的切线方向和该点的涡量方向重合。它是由同一时刻不同流体质点所组成的，涡线上各流体微团将绕涡线的切线方向旋转。确定涡线的方程为 $\frac{dx}{\Omega_x}=\frac{dy}{\Omega_y}=\frac{dz}{\Omega_z}$。

在涡旋场内取一非涡线的曲线，过曲线每一点作涡线，这些涡线组成的曲面称为涡面；若所取的曲线封闭且不自交，则过曲线上每一点作涡线，组成一管状曲面，称为涡管。若涡管的周围流体的涡量皆为零，则称此涡管为孤立涡管。

曲面积分 $\int_S \boldsymbol{\Omega}\cdot d\boldsymbol{S}$ 称为通过任一截面的涡通量。

速度环量定义为速度矢量沿封闭曲线 $L$ 的曲线积分 $\Gamma=\oint_L \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r}$，规定逆时针方向为 $L$ 的正方向。速度环量表征流体质点沿封闭曲线 $L$ 方向运动的总的趋势的大小。

速度环量和涡通量之间的紧密联系由斯托克斯公式给出：$\oint_L \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r}=\int_S \operatorname{rot}\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{S}$。即速度矢量沿封闭曲线 $L$ 的环量等于涡量通过张于 $L$ 上的曲面 $S$ 的通量。

涡量的物理意义：在 $M$ 点邻域取一与 $\boldsymbol{\Omega}$ 垂直的无限小圆，由斯托克斯公式并引进平均切向速度与平均角速度的概念，可证 $|\boldsymbol{\Omega}|=2\omega$。即 $M$ 点涡量的大小是流体微团绕该点旋转的平均角速度的两倍，方向与微团的瞬时转动轴线重合。