流体力学（第二版）

轨迹（迹线）是流体质点在空间中运动时所描绘出来的曲线，它给出同一质点在各个不同时刻的速度方向。轨迹的概念和拉格朗日观点相联系，它是同一流体质点运动规律的几何表示。由运动规律 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(a,b,c,t)$ 消去时间后即得轨迹方程。

若流体运动以欧拉变数给出 $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}(\boldsymbol{r},t)$，要求轨迹方程必须将欧拉变数转换到拉格朗日变数中去，即解微分方程组 $\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}=dt$。

流线是这样的曲线：对于某一固定时刻而言，曲线上任一点的速度方向和曲线在该点的切线方向重合。流线是同一时刻不同流体质点所组成的曲线，它给出该时刻不同流体质点的运动方向。流线是速度场的矢量线，是与欧拉方法相联系的概念。

设 $d\boldsymbol{r}$ 是流线的弧元，则根据流线定义有 $d\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}=0$，即流线应满足的微分方程 $\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}$，它由两个常微分方程组成，其中时间 $t$ 是参数，在积分时当作常数处理。

轨迹和流线是两种内容不同的曲线：轨迹是同一质点在不同时刻形成的曲线，与拉格朗日观点相联系；流线是同一时刻不同质点所组成的曲线，与欧拉观点相联系。在非定常运动时流线和轨迹一般说来不重合，而在定常运动时二者必然重合。

在流体中取一非轨迹且不自相交的封闭曲线 $C$，过 $C$ 上每一点作轨迹，这些轨迹组成的曲面称为射流面，射流面所包围的流体称为射流；若曲线 $C$ 不自相交且不是流线，则在同一时刻过 $C$ 上每一点作流线，这些流线组成的曲面称为流面，流面所包围的流体称为流管。非定常运动时流管和射流一般互不重合，定常运动时两者重合。

例：设流体运动由速度函数 $u=x+t,\ v=-y+t$ 给出，求 $t=0$ 时过 $M(-1,-1)$ 点的流线及轨迹。解：流线方程积分得 $(x+t)(-y+t)=\text{const}$，代入得双曲线；轨迹方程是常系数线性常微分方程组，消去 $t$ 得直线。由此可见非定常运动时轨迹与流线一般不相重合。