流体力学（第二版）

流体力学基本方程组由连续性方程、运动方程、能量方程、本构方程、状态方程及内能和熵的表达式组成。在应力形式下共 12 个未知函数，方程组是封闭的。

应力形式的流体力学基本方程组（微分形式）：连续性方程 $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho\boldsymbol{v})=0$，运动方程 $\rho\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\rho\boldsymbol{F}+\operatorname{div}\boldsymbol{P}$，能量方程 $\rho\frac{dU}{dt}=\boldsymbol{P}:\boldsymbol{S}+\operatorname{div}(k\operatorname{grad}T)+\rho q$，本构方程 $P_{ij}=-p\delta_{ij}+\lambda S_{kk}\delta_{ij}+2\mu S_{ij}$，状态方程 $p=p(\rho,T)$。

耗散函数 $\Phi=2\mu\left[\left(\frac{\partial v_1}{\partial x_1}\right)^2+\left(\frac{\partial v_2}{\partial x_2}\right)^2+\left(\frac{\partial v_3}{\partial x_3}\right)^2\right]+\frac{1}{2}\mu\sum_{i\ne j}\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right)^2+\lambda'(\operatorname{div}\boldsymbol{v})^2$，它表征由于黏性耗散掉的机械能。由黏性所耗散的机械能全部转化为热能，这是不可逆过程。当 $e_1=e_2=e_3=0$ 且 $\omega_1=\omega_2=\omega_3=0$ 时耗散函数为零，表示没有变形的刚体运动。

应力所做功率与耗散函数的关系：$\boldsymbol{P}:\boldsymbol{S}=-p\operatorname{div}\boldsymbol{v}+\Phi$。第一部分 $-p\operatorname{div}\boldsymbol{v}$ 代表体积相对膨胀或压缩时压强所做的功的功率；第二部分是黏性在单位时间内耗散的机械能，永远大于等于零。利用连续性方程可将能量方程写成熵形式：$\rho T\frac{ds}{dt}=\Phi+\operatorname{div}(k\operatorname{grad}T)+\rho q$。

另一种形式的流体力学基本方程组（可分开求解）：$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho\boldsymbol{v})=0$，$\rho\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\rho\boldsymbol{F}-\operatorname{grad}p+\mu\nabla^2\boldsymbol{v}+\left(\lambda'+\frac{\mu}{3}\right)\operatorname{grad}\operatorname{div}\boldsymbol{v}$，$\rho T\frac{ds}{dt}=\Phi+\operatorname{div}(k\operatorname{grad}T)+\rho q$，$p=p(\rho,T)$，$P_{ij}=-p\delta_{ij}+2\mu\left(S_{ij}-\frac{1}{3}S_{kk}\delta_{ij}\right)+\lambda'S_{kk}\delta_{ij}$。先解前六个方程得到 $\boldsymbol{v},p,\rho,T$，再代入最后一个张量方程即得应力张量各分量。黏性流体的运动方程称纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程。

黏性不可压缩均质流体的基本方程组：$\operatorname{div}\boldsymbol{v}=0$，$\rho\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\rho\boldsymbol{F}-\operatorname{grad}p+\mu\nabla^2\boldsymbol{v}$，$\rho T\frac{ds}{dt}=\Phi+\operatorname{div}(k\operatorname{grad}T)+\rho q$，$P_{ij}=-p\delta_{ij}+2\mu S_{ij}$。此时状态方程为 $\rho=\text{常数}$，且设 $\mu=\text{常数}$。

理想可压缩流体（理想绝热且完全）的基本方程组：$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho\boldsymbol{v})=0$，$\rho\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\rho\boldsymbol{F}-\operatorname{grad}p$，$\frac{ds}{dt}=0$。理想不可压缩流体的方程组：$\operatorname{div}\boldsymbol{v}=0$，$\rho\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\rho\boldsymbol{F}-\operatorname{grad}p$。理想流体的运动方程称为欧拉方程。

流体力学基本方程组还可写成柱面坐标系、球面坐标系及正交曲线坐标系等形式，以便配合具体问题的几何形状求解。工程上最常采用的是微分形式的基本方程组，这些方程成立的条件是流体力学特征量具有连续的一级偏导数；在特征量发生间断的局部面上不能采用微分形式的运动方程，但积分形式的方程组仍然成立。