流体力学（第二版）

流体抵抗两层流体相对滑动速度、抵抗变形的性质称为黏性。黏性规律将应力张量和变形速度张量以某种关系联系起来。在一定的假定下推导出表达黏性规律的应力张量与变形速度张量之间的关系，即本构方程。将本构方程与运动方程联合起来可以推导出著名的纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程。

牛顿黏性定律：考虑两个很长的平行平板间距离为 $h$ 的黏性流体运动，下板静止、上板以等速 $U$ 运动。实验表明两板间速度分布遵守线性规律，切向应力 $\tau=\mu\frac{du}{dy}$，即切向应力和剪切变形速度成正比。其中 $\mu$ 是流体的物理常数，是流体抗拒变形的内摩擦的量度，称为黏度（动力黏度）。

运动黏度 $\nu=\frac{\mu}{\rho}$，它等于动力黏度除以密度。在国际单位制中，$\mu$ 和 $\nu$ 的单位分别是 $\text{Pa}\cdot\text{s}$ 和 $\text{m}^2/\text{s}$。例如 20°C 时水的 $\mu=1.0\times10^{-3}\,\text{Pa}\cdot\text{s}$，运动黏度 $\nu=1.0\times10^{-6}\,\text{m}^2/\text{s}$。

黏度显著地依赖于温度，但很少随压强变化。对于液体，随着温度升高，黏度下降；对于气体，温度升高时黏度反而上升。

气体的黏度与温度的关系可表为萨瑟兰（Sutherland）公式，在相当大的范围内（$T<2000\,\text{K}$）对空气适用。实用上多采用幂次公式近似给出真实黏性关系。

广义牛顿黏性定律的三个基本假定：（1）运动流体的应力张量在运动停止后应趋于静止流体的应力张量，即应力张量写成各向同性部分 $-p\boldsymbol{I}$ 与偏应力张量 $\boldsymbol{P}'$ 之和；（2）偏应力张量各分量在速度梯度不太大时是速度梯度各分量的线性齐次函数；（3）流体是各向同性的。

各向同性黏性流体的本构方程：$P_{ij}=-p\delta_{ij}+\lambda S_{kk}\delta_{ij}+2\mu S_{ij}$，其中 $\mu$ 是动力黏度，$\lambda$ 是第二黏度系数。对不可压缩流体 $\operatorname{div}\boldsymbol{v}=0$，本构方程只出现一个常数 $\mu$。

平均法向应力与压强的关系：$\frac{1}{3}(p_{xx}+p_{yy}+p_{zz})=-p+\lambda'\operatorname{div}\boldsymbol{v}$。对不可压缩流体平均法向应力等于运动流体的压强；对可压缩流体应力的值发生 $\lambda'\operatorname{div}\boldsymbol{v}$ 的改变，$\lambda'$ 称为第二动力黏度或膨胀黏度（体积黏度），它量度由于膨胀或收缩引起的耗散大小。

斯托克斯假设：$\lambda'=0$ 或 $\frac{1}{3}(p_{xx}+p_{yy}+p_{zz})=-p$。它表明黏性流体中的压强函数 $p$ 就是平均法向应力。斯托克斯假设在分子动理学中得到证明。

做斯托克斯假设后，广义牛顿黏性定律写成$P_{ij}=-p\delta_{ij}+2\mu\left(S_{ij}-\frac{1}{3}S_{kk}\delta_{ij}\right)$。应力张量和变形速度张量之间的关系满足广义牛顿黏性定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。常用的流体如水及空气都是牛顿流体；油漆、颜料、橡胶、血液等是非牛顿流体。