流体力学（第二版）

波浪运动的总能量由动能与势能组成。无旋运动动能公式 $T=\frac{\rho}{2}\oint_L\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial n}\,dl$；利用周期性可将沿波面 OAB 的积分化为沿线段 OB 的积分（相差二阶小量），得平面周期波动能公式 $T=\frac{\rho}{2}\int_0^\lambda\left.\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right|_{z=0}dx$。

势能取波浪运动势能与平衡时势能之差：$V=\frac{\rho g}{2}\int_0^\lambda\zeta^2 dx$，它与自由面的形状紧密联系。将动能与势能公式合并即得总能量。

驻波情形：动能 $T=\frac{1}{4}\rho a^2g\lambda\cos^2(\omega t)$，势能 $V=\frac{1}{4}\rho a^2g\lambda\sin^2(\omega t)$，两者之和 T+V 守恒，动能与势能相互转化。

进波情形：动能与势能分别为 $T=\frac{1}{4}\rho a^2g\lambda$，$V=\frac{1}{4}\rho a^2g\lambda$，二者都等于总能量的一半，且不随时间改变，总能量守恒。

以无界流体进波为例计算能量传递：取与 Ox 轴垂直的平面 Oyz，dt 时间内左方流体对右方流体做功 $W=\int p\,u\,dz\,dt$。经计算单位时间内功的平均值为 $\bar{W}=\frac{1}{4}\rho a^2 g c$，即 $\bar{W}=\frac{1}{2}cE$，其中 E=ρa²g/2 为单位长度内进波的总能量。

因群速 v_g=c/2，能量传递率 $\bar{W}=\frac{1}{2}cE=v_gE$。这表明波能以群速传递而非以波速传递，这是群速的一个动力学特性，也是引进群速概念的重要性所在。

波阻：以速度 C 运动的船在身后形成波浪，每秒形成的波能为 CE，其中先前形成的波浪每秒通过平面带来 CE/2 的能量，余下 CE/2 由船只供给。船每秒钟走 C 的距离，故船所受阻力 $R=\frac{1}{2}CE$，即阻力等于单位长度波能的一半。

计算能量传递时，dt 时间内压强对右方流体做的功为 $W'=\iint p\,u\,dz\,dt$。将进波公式代入并对一个周期积分，得到单位时间内做功的平均值 $\bar{W}=\frac{1}{2}\rho a^2gc\cdot\frac{1}{4}$，即能量的传递率。

波阻的推导：以速度 C 运动的船只每秒形成的波能是 CE，其中 CE/2 由先前波浪传递而来，余下 CE/2 由船供给。船每秒走 C 的距离，故阻力 R 满足 $R\cdot C=\frac{1}{2}CE$，即 $R=\frac{1}{2}CE$。