流体力学（第二版）

空间中任一点 $M$ 除用直角坐标 $(x,y,z)$ 外，还可用三个数 $(q_1,q_2,q_3)$ 唯一确定，$q_1,q_2,q_3$ 称为曲线坐标。反函数唯一存在的条件是：$q_i$ 单值连续且有连续一阶偏导数，且雅可比行列式 $\partial(q_1,q_2,q_3)/\partial(x,y,z)$ 处处不为零。

拉梅系数 $H_i=\left|\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_i}\right|$ 是 $q_1,q_2,q_3$ 的已知函数。弧元矢量 $d\boldsymbol{r}=H_1dq_1\boldsymbol{e}_1+H_2dq_2\boldsymbol{e}_2+H_3dq_3\boldsymbol{e}_3$，体积元 $dV=H_1H_2H_3\,dq_1dq_2dq_3$。

柱面坐标系 $(r,\theta,z)$ 的拉梅系数为 $H_r=1,\ H_\theta=r,\ H_z=1$，故 $(ds)^2=(dr)^2+r^2(d\theta)^2+(dz)^2$，$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$。

球面坐标系 $(r,\theta,\varphi)$ 的拉梅系数为 $H_r=1,\ H_\theta=r,\ H_\varphi=r\sin\theta$，故 $(ds)^2=(dr)^2+r^2(d\theta)^2+r^2\sin^2\theta(d\varphi)^2$，$dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$。

梯度在曲线坐标系中的表达式：$\operatorname{grad}\varphi=\frac{1}{H_1}\frac{\partial\varphi}{\partial q_1}\boldsymbol{e}_1+\frac{1}{H_2}\frac{\partial\varphi}{\partial q_2}\boldsymbol{e}_2+\frac{1}{H_3}\frac{\partial\varphi}{\partial q_3}\boldsymbol{e}_3$。

散度在曲线坐标系中的表达式：$\operatorname{div}a=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(a_1H_2H_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(a_2H_3H_1)+\frac{\partial}{\partial q_3}(a_3H_1H_2)\right]$。

柱面坐标中的散度：$\operatorname{div}a=\frac{1}{r}\frac{\partial(ra_r)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial a_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial a_z}{\partial z}$；球面坐标中的散度：$\operatorname{div}a=\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2a_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(a_\theta\sin\theta)}{\partial\theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial a_\varphi}{\partial\varphi}$。