流体力学（第二版）

在笛卡儿直角坐标系中定义的张量称笛卡儿张量，在任意曲线坐标系中定义的张量称普遍张量。本章只研究笛卡儿张量，因为它足以满足基础流体力学的需要。

任何一个笛卡儿坐标变换由平动、转动和反射组成；新旧坐标系都是右手系时，只有平动和转动。旧新坐标系单位矢量间有关系 $\boldsymbol{e}'_i=a_{ij}\boldsymbol{e}_j$，其中 $a_{ij}=\boldsymbol{e}'_i\cdot\boldsymbol{e}_j$ 是两坐标系不同坐标轴夹角的余弦。

矢量的另一定义：若对每个直角坐标系有三个量 $a_1,a_2,a_3$，按 $a'_i=a_{ij}a_j$ 转换到另一坐标系，则这三个量定义一个矢量。

二阶张量定义：若对每个直角坐标系有九个量 $p_{ij}$，按 $p'_{ij}=a_{ik}a_{jl}p_{kl}$ 转换，则称 $p_{ij}$ 为二阶笛卡儿张量。应力、应变等物理量正是二阶张量。

n 阶张量定义：在每一坐标系内给出 $3^n$ 个数 $p_{j_1j_2\cdots j_n}$，坐标变换时按 $p'_{i_1i_2\cdots i_n}=a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n}p_{j_1j_2\cdots j_n}$ 转换。当 $n=0$ 时分量为一个且满足标量变换律，故标量可视为零阶张量；$n=1$ 时是矢量，故矢量可视为一阶张量。

在任意直角坐标系中各分量皆为零的量满足张量变换律，组成一个 n 阶张量，称为零张量，以 $\boldsymbol{0}$ 表之。