流体力学（第二版）

旋转体绕流问题（炮弹、火箭、机身、风洞等）的特点是有对称轴，与对称轴垂直的任一横截面都是圆心在对称轴上的圆。描述旋转体采用柱面坐标或球面坐标。对轴对称物体，如来流平行于对称轴，则整个绕流也是轴对称的。

轴对称运动的两个数学特征：（1）在所有通过对称轴 Ox 的平面上流体质点的运动都在这个平面上进行，即 $v_\theta=0$（柱面坐标）；（2）将 A 点绕对称轴旋转得圆，圆上各点物理量相等，即 $\frac{\partial}{\partial\theta}=0$。由此三维问题退化为二维问题。

轴对称运动中流函数 ψ 与速度的关系（柱面坐标）：$v_r=\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial z}$，$v_z=-\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}$；速度势 φ 与流函数 ψ 之间满足 $\frac{\partial\varphi}{\partial z}=\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}$，$\frac{\partial\varphi}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial z}$。

轴对称无旋运动中流函数 ψ 满足的微分方程为 $\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}=0$，注意与平面情形不同，这个方程不是拉普拉斯方程。