流体力学（第二版）

普朗特混合长理论（1925）借用分子运动论的思想：引入混合长 l，假定流体微团在 l 距离内不与其他微团相碰而保持自身动量，从而建立雷诺应力与平均速度梯度的关系 $\tau_t=\rho l^2\left|\frac{d\bar{u}}{dy}\right|\frac{d\bar{u}}{dy}$。

湍流黏度 $\mu_t=\rho l^2\left|\frac{d\bar{u}}{dy}\right|$ 形式上与层流黏度 μ 相似，但 μ 是流体本身的性质，而 μ_t 是人为引进的系数，不反映流体特性，依赖流体的运动。除固壁附近外，湍流黏度比层流黏度大到上万倍，湍应力起主导作用。

无界固壁附近的湍流分为两个区域：黏性底层（固壁附近，黏性应力起主导，忽略湍应力，速度线性分布 $u=U_*^2 y/\nu$）和湍流核心区（完全湍流，忽略黏性应力，速度对数分布）。过渡区在两区域之间，Re 很大时过渡区尺寸很小可忽略。

引进摩擦速度 $U_*=\sqrt{\tau_w/\rho}$，在湍流核心区假设混合长 l=κy，积分得对数速度剖面 $u=\frac{U_*}{\kappa}\ln y+C$。普朗特取 κ=0.4，常数 a≈11.5。

对数速度剖面具有普遍意义：不仅管、槽内的速度分布满足此规律，二维湍流边界层内的速度分布也大体具有这种形式。