流体力学（第二版）

体积分的随体导数：流动体积随时间改变大小和形状，被积函数 g(r,t) 的数值也随时间改变，因此体积分 $\int_\tau g\,d\tau$ 在不同时刻取不同值。其随体导数由两项组成：$\frac{d}{dt}\int_\tau g\,d\tau=\int_\tau \frac{\partial g}{\partial t}\,d\tau+\int_S g\mathbf{v}\cdot d\mathbf{S}$。

体积分随体导数的物理含义：第一项 $\int_\tau \frac{\partial g}{\partial t}\,d\tau$ 是标量场非定常性引起的；第二项 $\int_S g\mathbf{v}\cdot d\mathbf{S}$ 是函数 gv 通过表面 S 的通量，是流动体积改变引起的。

利用奥-高公式，体积分随体导数可写成积分号内形式：$\frac{d}{dt}\int_\tau g\,d\tau=\int_\tau \left(\frac{\partial g}{\partial t}+\mathrm{div}(g\mathbf{v})\right)d\tau$。

面积分的随体导数：设通过流动曲面 S 的涡通量 $I=\int_S \boldsymbol{\Omega}\cdot d\mathbf{S}$，其中 Ω 为涡量。其随体导数为$\frac{dI}{dt}=\int_S \left[\frac{\partial \boldsymbol{\Omega}}{\partial t}+\mathrm{rot}(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{v})\right]\cdot d\mathbf{S}$。

推导面积分随体导数时用到：曲面 S、新曲面 S₁ 和侧面所围成的封闭曲面对 Ω 应用奥-高定理（divΩ=0），再利用斯托克斯公式将回线积分化为面积分，并注意 $d\boldsymbol{\tau}=d\mathbf{r}\times\mathbf{v}\Delta t$。

线积分的随体导数：沿流体质点组成的流动封闭曲线 L 的速度环量 $\Gamma=\oint_L \mathbf{v}\cdot\delta\mathbf{r}$，其随体导数$\frac{d\Gamma}{dt}=\oint_L \frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\delta\mathbf{r}$。这是开尔文（Kelvin）定理推导的基础。

对封闭流动曲面 S，面积分的随体导数给出 $\frac{d}{dt}\int_S \varphi\,d\mathbf{S}=\int_S \left(\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla\varphi\right)d\mathbf{S}$ 一类公式，其中 φ 可为速度势等标量函数，推导重复面积分随体导数的方法（闭合曲面时侧面收缩为零）。

随体导数公式的三种形式统一表述：体积分的随体导数把时间导数移入积分号内并添加 div(gv)；面积分的随体导数添加 rot(Ω×v)（无散情形）；线积分的随体导数则直接作用在 d/dt 上（环量），三种形式是流体运动学的核心工具。