流体力学（第二版）

流体在一点 $M$ 的密度定义为质量与体积之比在体积元向 $M$ 无限收缩时的极限：$\rho=\lim_{\Delta\tau\to 0}\frac{\Delta m}{\Delta\tau}$。密度的物理意义是单位体积内流体的质量，它是坐标和时间的函数。由定义推出 $dm=\rho\,d\tau$。

工程中还广泛采用比重 $\gamma$ 的概念，它定义为单位体积内流体的重量：$\gamma=\rho g$，其中 $g$ 为重力加速度。在国际单位制中，$\rho$ 和 $\gamma$ 的单位分别为 $\text{kg/m}^3$ 和 $\text{N/m}^3$。

作用在流体体积内各个流体微团上的力称为质量力（或体力），如重力、引力、惯性力。质量力用空间中的分布密度来表示：$\boldsymbol{F}=\lim_{\Delta\tau\to 0}\frac{\Delta\boldsymbol{f}}{\rho\Delta\tau}$，它代表单位质量流体所受到的质量力。作用在体积元上的质量力为 $d\boldsymbol{f}=\rho\boldsymbol{F}\,d\tau$，质量力与体积成正比。

与界面 $S$ 接触的流体或固体作用于表面 $S$ 上的力称为面力，如压力、摩擦力。面力用表面上的分布密度来表示：$\boldsymbol{P}_n=\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\Delta\boldsymbol{P}}{\Delta S}$，它代表 $M$ 点上以 $\boldsymbol{n}$ 为法线的单位面积上所受的面力，称为面力在 $S$ 面上的分布密度或应力。作用在面积元上的面力为 $d\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}_n\,dS$，面力与面积成正比。

应力 $\boldsymbol{P}_n$ 不仅是空间坐标和时间的函数，还依赖于作用面的方向：作用面方向不同，一般说来 $\boldsymbol{P}_n$ 也不同。因此要描写一点的应力，需要知道所有通过 $M$ 点的面上所受的应力，即 $\boldsymbol{P}_n$ 是径矢 $\boldsymbol{r}$ 和面元法向单位矢量 $\boldsymbol{n}$ 这两个矢量的函数。

只要知道三个坐标面上的应力，则任一以 $\boldsymbol{n}$ 为法线方向的面元上的应力都可通过它们及 $\boldsymbol{n}$ 表示出来：$\boldsymbol{P}_n=\boldsymbol{P}_x\alpha+\boldsymbol{P}_y\beta+\boldsymbol{P}_z\gamma=\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{P}$，其中 $(\alpha,\beta,\gamma)$ 是 $\boldsymbol{n}$ 的方向余弦。九个分量 $P_{ij}$ 的组合完全描写了一点的应力状况，根据张量识别定理，$\boldsymbol{P}$ 是二阶张量，称之为应力张量。

应力张量是一个二阶对称张量，只有六个不同的分量。证明：取体积元，利用作用在界面上的合面力矩等于零，经奥-高定理并取体积元趋于零，得 $\varepsilon_{ijk}P_{jk}=0$，即 $P_{ij}=P_{ji}$。

应力张量是二阶对称张量，具有对称张量的所有性质：其几何表示是应力二次曲面，任一方向 $\boldsymbol{n}$ 上的应力 $\boldsymbol{P}_n$ 可由应力二次曲面上径矢方向为 $\boldsymbol{n}$ 的那一点处的法线方向给出；应力张量具有三个互相垂直的主轴方向，主轴坐标系中可写成对角形式，此时面上只有法向应力、切向应力等于零；它还有三个基本不变量。

应力的投影：应力 $\boldsymbol{P}_n$ 一般说来不垂直于作用面，它在法线方向和切线方向都有投影。法线方向的投影称为法向应力，切线方向的投影称为切向应力。应力 $P_{ij}$ 的第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力的投影方向。