流体力学（第二版）

拉格朗日方法着眼于流体质点，设法描述出每个流体质点自始至终的运动过程。用初始时刻流体质点的坐标 $(a,b,c)$ 作为区分不同质点的标志（拉格朗日变量），流体质点的运动规律可表为 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(a,b,c,t)$。

在拉格朗日方法中，速度和加速度是对同一质点而言的，因此对时间取偏导数（此时 $a,b,c$ 不变）：$\boldsymbol{v}=\frac{\partial\boldsymbol{r}(a,b,c,t)}{\partial t}$，$\boldsymbol{w}=\frac{\partial^2\boldsymbol{r}(a,b,c,t)}{\partial t^2}$。

欧拉方法着眼于空间点，设法在空间中每一点上描述流体运动随时间的变化状况。用速度矢量来描写固定点上流体运动的变化：$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}(\boldsymbol{r},t)$。变量 $(x,y,z,t)$ 称为欧拉变量。由欧拉变数确定的速度函数定义在空间点上，研究的是场（速度场、压强场、密度场等），因此可以广泛利用场论知识。

质点的加速度等于局部导数（就地导数）与位变导数（对流导数）之和，称为随体导数：$\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t}+(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}$。其中局部导数 $\partial\boldsymbol{v}/\partial t$ 由场的非定常性引起，位变导数 $(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}$ 由场的非均匀性引起。

随体导数对任何矢量 $\boldsymbol{a}$ 和任何标量 $\varphi$ 都成立：$\frac{d\boldsymbol{a}}{dt}=\frac{\partial\boldsymbol{a}}{\partial t}+(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{a}$，$\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\boldsymbol{v}\cdot\operatorname{grad}\varphi$。

不可压缩流体的数学表示为密度的随体导数为零：$\frac{d\rho}{dt}=0$。即每个质点的密度在运动过程中不变。

不可压缩流体的数学表示 $d\rho/dt=0$ 与不可压缩均质流体的数学表示 $\rho=\text{常数}$ 不同：不可压缩表示每个质点的密度沿其运动全程不变，但不同质点的密度可以不同；只有既不可压缩又均质时，密度才处处时时都是同一常数。

拉格朗日方法和欧拉方法从不同观点出发描绘同一流体的运动，它们之间可以互相转换：由拉格朗日运动规律 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(a,b,c,t)$ 反解出 $a,b,c$ 代入速度函数即得欧拉变数下的速度；由欧拉速度函数解常微分方程组 $d\boldsymbol{r}/dt=\boldsymbol{v}(\boldsymbol{r},t)$ 可得拉格朗日变数下的运动规律。

采用欧拉方法描写流体运动常常比拉格朗日方法优越：欧拉变数所得的是场，可广泛利用场论知识；且欧拉方法中加速度是一阶导数，所得运动方程是一阶偏微分方程组，比拉格朗日方法的二阶偏微分方程组容易求解。但在点爆炸、计算流体力学某些问题中，采用拉格朗日方法更为方便。